Истинность импликации в доказательстве про дополнения

[VoprosT]

Зорич на второй странице первого тома(издание 2020-го года или Глава 1, параграф 1, пункт 2 «Замечания о доказательствах») пишет: «В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вывода: если A истинно и A $\Rightarrow$ B, то B тоже истинно.»

На восьмой странице в примере доказывается одно из двух утверждений про дополнения: $ C( A \cup B )= CA\cap CB$
Вторая(впрочем, мой вопрос в равной степени относится ко всем импликациям доказательства) импликация док-ва выглядит следующим образом: $( x\notin ( A \cup B ) )\Rightarrow ( ( x\notin A) \wedge ( x\notin B ) )$

Мой вопрос: Когда доказываем какое-то утверждение с арифметикой,то мы по ходу док-ва делим, умножаем, складываем по известным правилам, поэтому импликация истинна, а значит и следствие из верной посылки тоже будет истинным. А почему здесь верна импликация? Имею в виду, что заложено в стрелочку между двумя утверждениями? Определение отрицания принадлежности объединению множеств?

[mihaild]

Тут ИМХО стоило бы расписать явно:

$$(x \notin (A \cup B)) \Rightarrow (\neg (x \in A \cup B)) \Rightarrow (\neg (x \in A \vee x \in B)) \Rightarrow (\neg(x \in A) \wedge \neg(x \in B)) \Rightarrow (x \notin A \vee x \notin B)$$

Во втором переходе мы пользуемся определением объединения, остальные делаются по определению $\notin$ и логическим тавтологиям.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1475046 писал(а):

Тут ИМХО стоило бы расписать явно:

$$(x \notin (A \cup B)) \Rightarrow (\neg (x \in A \cup B)) \Rightarrow (\neg (x \in A \vee x \in B)) \Rightarrow (\neg(x \in A) \wedge \neg(x \in B)) \Rightarrow (x \notin A \vee x \notin B)$$

Во втором переходе мы пользуемся определением объединения, остальные делаются по определению $\notin$ и логическим тавтологиям.

В конце,наверное,опечатка(или вместо и)
Спасибо,понял

-- 21.07.2020, 14:10 --

Не хочу начинать новую тему, потому что вопрос похожий,буду рад,если кто-то здесь ответит:
Как из $( ( (x \in A) \vee (x \in B) ) \Rightarrow x \in C )$ заключить, что $ ( A\subset C) \wedge (B\subset C)$

[Lia]

VoprosT
Вам образец рассуждений при решении таких задач mihaild привел. Попытайтесь сами, иначе придется тему в Карантин нести.

[gefest_md]

VoprosT, по поводу первого вопроса обратите внимание на упражнение 2b) из параграфа 1 главы 1 (2012). Там то, что нужно для решения примера. Когда доказываете конъюнкцию $P\wedge Q$, доказывайте отдельно $P$, и отдельно $Q$, потому что $\wedge$ это «и».