Уравнение с иррациональностью

[druggist]

Объяснял ребенку принцип решения уравнения содержащего неизвестное под знаком корня и наткнулся в учебнике на утверждение:
Уравнение $\sqrt{x^2-1}=-2$ не имеет решения. Не понимаю, почему не имеет?

[StaticZero]

Потому что по определению слева функция определена так, что она $\geqslant 0$ при всех допустимых значениях переменной.

Но вы можете и другую ветвь корня взять, каэш...

[Brukvalub]

(Оффтоп)

druggist в сообщении #1473613 писал(а):

Объяснял ребенку принцип решения уравнения содержащего неизвестное под знаком корня и наткнулся в учебнике на утверждение:
Уравнение $\sqrt{x^2-1}=-2$ не имеет решения. Не понимаю, почему не имеет?

Не рекомендую вам объяснять ребенку то, в чем вы сами не разбираетесь. Лучше наймите профессионала.

[Gagarin1968]

Ознакомьте сначала ребёнка с понятием арифметического корня.

[druggist]

Единственной причиной, по которой не принято подставлять оба значения корня (положительное и отрицательное) в уравнение я вижу то обстоятельство, что неравенства с иррациональностью могут вообще не иметь смысла(из-за неоднозначности функции), то есть, для единообразия. А так в уравнение можно подставлять алгебраический корень, причем, одно значение может удовлетворять уравнению, другое нет. Другого объяснения не вижу:)

[Walker_XXI]

Просто объясните ребёнку, что символом $\sqrt{a}$ $(a\geqslant 0)$ обозначается неотрицательное решение уравнения $x^2=a$. Так принято. Удобно, чтобы этот символ всегда обозначал одно конкретное число, а не два.

[Brukvalub]

druggist в сообщении #1473679 писал(а):

А так в уравнение можно подставлять алгебраический корень

А что это за зверь: "алгебраический корень"?

[Gagarin1968]

Brukvalub в сообщении #1473803 писал(а):

А что это за зверь: "алгебраический корень"?

Я встречал это понятие в старых учебниках. Там алгебраический означало многозначный.
В современной литературе обычно используется просто "корень".

[Otta]

Арифметический корень было для положительного значения корня. Да и до сих пор есть.
А вот алгебраический - ни разу не попадался. Впрочем, может, достаточно старых учебников не читала.

[druggist]

Walker_XXI в сообщении #1473708 писал(а):

Просто объясните ребёнку, что символом $\sqrt{a}$ $(a\geqslant 0)$ обозначается неотрицательное решение уравнения $x^2=a$. Так принято.

Хорошо, а как принято обозначать многозначный(алгебраический, просто) корень? $\pm\sqrt{a}$? В "Элементарной математике" (Зайцев, Рыжков, Сканави) тоже упоминается, что иррациональность в уравнении следует понимать как арифметический корень, зачем тогда нужна такая оговорка?

[EUgeneUS]

druggist в сообщении #1473867 писал(а):

Хорошо, а как принято обозначать многозначный(алгебраический, просто) корень? $\pm\sqrt{a}$?

Именно так он ("алгебраический корень", корни уравнения $x^2 = a$) обозначается в школьной программе, например в формуле для корней квадратного уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$