Прошу помощи - преобразование Фурье от модуля синка.

[AAE]

Здравствуйте. Порошу помощи вот в каком вопросе. Есть определенная на всей числовой оси функция:
$f(x)=\frac{\mid\sin(x)\mid}{\mid x\mid}$
Функция не интегрируемая, то есть, преобразование Фурье в нуле уходит в бесконечность. Но эта функция интегрируема в квадрате. Значит по теореме Планшереля имеет преобразование Фурье (классическое, не обобщенное) с конечной нормой. Вот я и не могу понять, имеет ли эта функция классическое (не обобщенное) преобразование Фурье, или не имеет?

[Otta]

AAE в сообщении #1473459 писал(а):

Значит по теореме Планшереля имеет преобразование Фурье (классическое, не обобщенное) с конечной нормой.

Я не очень понимаю следующего за этим вопроса.

[AAE]

Суть вопроса в том, существует или нет преобразование Фурье в нуле у этой функции в классическом смысле? И если да, то чему оно равно в нуле и окрестности нуля?
Сомнения в существовании - неинтегрируемость функции (преобразования Фурье в нуле).
Возможно, что преобразование Фурье у этой функции везде, кроме нуля, вполне себе нечто с конечной нормой, а в нуле - выброс в бесконечность. Тогда всё нормально, а в тереме Планшереля допускается предел в виде бесконечности. Но вот "предел в виде бесконечности" меня настораживает.

[Mikhail_K]

AAE в сообщении #1473470 писал(а):

Возможно, что преобразование Фурье у этой функции везде, кроме нуля, вполне себе нечто с конечной нормой

А что такое здесь норма? Что такое "функция с конечной нормой"?

[alisa-lebovski]

Функция вполне может уходить на бесконечность в нуле и при этом иметь конечную (интегральную) норму, например,

$$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x^2+1)}.$$

[Xaositect]

А о каком именно "классическом смысле" Вы говорите? Теорема Планшереля говорит, что для $f \in L^2$ существует предел $\lim_{R \to \infty} \int_{-R}^R f(x) e^{-itx} dx$ в смысле $L^2$, и ничего не говорит о поточечной сходимости этого интеграла.
Этот интеграл действительно сходится почти всюду, и преобразование Фурье на $L^2$ можно определить как $\hat{f}(t) = \mathrm{v.p.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-itx} dx$, но это уже более сложная вещь (теорема Карлесона).

[Red_Herring]

А почему бы вам не посчитать его? Начав п.Ф. от

$$f(x)=\left\{\begin{aligned} &|\sin(x)| &&x\in (0,\pi),\\ &0&& x\notin (0,\pi) \end{aligned}\right.$$

потом п.Ф. (обобщенное) от $|\sin(x)|$, и, наконец, от вашей функции

[AAE]

Прошу прощения, норма в смысле $L^2$.
Да, действительно, в теореме Планшереля обозначена сходимость в $L^2$ и ничего более.
Спасибо за помощь, разобрался - в нуле у ПФ от этой функции выброс в бесконечность, но норма (в смысле $L^2$) всего ПФ при этом конечна.
Еще раз спасибо!

-- 12.07.2020, 16:30 --

Red_Herring в сообщении #1473477 писал(а):

А почему бы вам не посчитать его? Начав п.Ф. от

$$f(x)=\left\{\begin{aligned} &|\sin(x)| &&x\in (0,\pi),\\ &0&& x\notin (0,\pi) \end{aligned}\right.$$

потом п.Ф. (обобщенное) от $|\sin(x)|$, и, наконец, от вашей функции

Пробовал. ПФ от $|\sin(x)|$ известно. Проблема возникла с ПФ от $\frac{1}{\mid x\mid}$. В общем, не довёл до конца этот путь.

-- 12.07.2020, 16:33 --

alisa-lebovski в сообщении #1473473 писал(а):

Функция вполне может уходить на бесконечность в нуле и при этом иметь конечную (интегральную) норму, например,

$$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x^2+1)}.$$

Интересно! Попробую на досуге "посмотреть" на эту функцию. Спасибо!

[novichok2018]

Вопрос-существует ли преобразование Фурье у данной функции ? не полон. Нужно уточнить в каком пространстве. Для данной функции в обычном смысле, то есть в $L_1$ не существует, в $L_2$ - существует. Кстати, его можно явно посчитать?

[AAE]

alisa-lebovski в сообщении #1473473 писал(а):

Функция вполне может уходить на бесконечность в нуле и при этом иметь конечную (интегральную) норму, например,

$$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x^2+1)}.$$

У этой функции действительно норма в смысле $L^2$ конечна?

[alisa-lebovski]

AAE в сообщении #1473491 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1473473 писал(а):

Функция вполне может уходить на бесконечность в нуле и при этом иметь конечную (интегральную) норму, например,

$$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x^2+1)}.$$

У этой функции действительно норма в смысле $L^2$ конечна?

Это был пример на конечную интегральную норму в $L_1$, а для $L_2$ можно, например, заменить квадратный корень на кубический или 4-ой степени, чтобы интегрировалось в нуле. Что касается Вашего примера, то подозреваю, что в нуле функция будет вести себя как логарифм (но это не точно).

[AAE]

alisa-lebovski в сообщении #1473492 писал(а):

AAE в сообщении #1473491 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1473473 писал(а):

Функция вполне может уходить на бесконечность в нуле и при этом иметь конечную (интегральную) норму, например,

$$\frac{1}{\sqrt{|x|}(x^2+1)}.$$

У этой функции действительно норма в смысле $L^2$ конечна?

Это был пример на конечную интегральную норму в $L_1$, а для $L_2$ можно, например, заменить квадратный корень на кубический или 4-ой степени, чтобы интегрировалось в нуле. Что касается Вашего примера, то подозреваю, что в нуле функция будет вести себя как логарифм (но это не точно).

Спасибо за помощь еще раз.

-- 12.07.2020, 17:07 --

novichok2018 в сообщении #1473486 писал(а):

Вопрос-существует ли преобразование Фурье у данной функции ? не полон. Нужно уточнить в каком пространстве. Для данной функции в обычном смысле, то есть в $L_1$ не существует, в $L_2$ - существует. Кстати, его можно явно посчитать?

Речь идет о пространстве $L_2$.
Скажите, пожалуйста, Ваша фраза "Кстати, его можно явно посчитать?" это утверждение или вопрос?
Если утверждение, то пожалуйста, подскажите или намекните, как посчитать.

[Red_Herring]

AAE в сообщении #1473482 писал(а):

Пробовал. ПФ от $|\sin(x)|$ известно. Проблема возникла с ПФ от $\frac{1}{\mid x\mid}$. В общем, не довёл до конца этот путь.

Поскольку $1/|x|$ не является обобщенной функцией, то и п. Ф. неопределено. Но это и ненужно. Я был несколько неправ. Найдите п.Ф. $x|\sin (x) |/|x|$ и найдите первообразную, чтобы увидеть сингулярность.

[pogulyat_vyshel]

https://c.radikal.ru/c17/2007/45/0b490097afca.png

[AAE]

pogulyat_vyshel в сообщении #1473497 писал(а):

https://c.radikal.ru/c17/2007/45/0b490097afca.png

Принято. Спасибо! Если можно, то полное название источника дайте, пожалуйста.

-- 12.07.2020, 17:26 --

Red_Herring в сообщении #1473496 писал(а):

AAE в сообщении #1473482 писал(а):

Пробовал. ПФ от $|\sin(x)|$ известно. Проблема возникла с ПФ от $\frac{1}{\mid x\mid}$. В общем, не довёл до конца этот путь.

Поскольку $1/|x|$ не является обобщенной функцией, то и п. Ф. неопределено. Но это и ненужно. Я был несколько неправ. Найдите п.Ф. $x|\sin (x) |/|x|$ и найдите первообразную, чтобы увидеть сингулярность.

Спасибо!