Strong geometric inequality

[ghenghea]

In a triangle $ABC$ we have $AB = AC = 1$ and $\angle{BAC} = 40^{\circ}$. Show that $BC$ is strictly greater than $\frac{2}{3}$.

I would like to see a solution using elementary methods.

[kotenok gav]

Теорема косинусов - неэлементарный метод?

[gris]

Теорема косинусов элементарный метод, но как найти $\cos 40^{\circ}$ Тут или Брадис, или Тейлор. Или кубическое уравнение. В принципе, сводится к $BC=\sqrt 3-\dfrac {2}{\tg 10^{\circ}+\sqrt 3}$ и оценке упомянутого тангенса через кубическую функцию, но очень уж муторно. Может быть есть чисто геометрическое решение?
Можно уложить копии треугольника в правильный девятиугольник.
Получим красивое неравенство $BC<2\pi/9$ Оно даже тоньше спрашиваемого

[kotenok gav]

$BC^2=2-2\cos40^{\circ}$. $BC>\frac23$ тогда и только тогда, когда $\cos40^{\circ}<\frac79$. По Тейлору $\cos40^{\circ}=\cos\frac{2\pi}9<1-\frac{2\pi^2}{81}+\frac{2\pi^4}{19683}\approx0.7664<\frac79$. Всо.

[Dendr]

Exact proof.

Essentially, we want to prove that $\cos 70^\circ > \frac {1}{3}$
Note that for $\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$, if $\cos\alpha\vee A$ then $\cos(2\alpha)\vee 2A^2-1$ (where $\vee$ is any comparison sign).
Also, if $\cos\alpha<A$ then $\cos(180^\circ-\alpha)>-A$ and vice versa.

Suppose that the statement is wrong, so that $\cos 70^\circ \leqslant \frac{1}{3}$.
It means that $\cos 140^\circ \leqslant -\frac{7}{9}$, and $\cos 40^\circ \geqslant \frac{7}{9}$.

Furthermore, $\cos 80^\circ \geqslant \frac{17}{81}$, $\cos 160^\circ \geqslant -\frac{5983}{6561}$ and $\cos 20^\circ \leqslant \frac{5983}{6561}$

Hence, $\frac{7}{9}\leqslant\cos 40^\circ \leqslant 2 \frac{5983^2}{6581^2}-1=\frac{28545857}{43046721}$.

Otherwords, from $\cos 70^\circ \leqslant \frac {1}{3}$ follows that $\frac{7}{9} \leqslant \frac{28545857}{43046721}; 301327047 \leqslant 256912713 $.
We have got a contradiction.

Thus, $\cos 70^\circ > \frac {1}{3}$
QED

[novichok2018]

Выпуклость - элементарный метод?

$$ \frac{1-\cos(40)}{2}>1/9,\ \ \sin^2(\frac{\pi}{9})>1/9,\ \ \sin(\frac{\pi}{9})>1/3. $$

Следует из того, что график синуса лежит над хордой, проходящей через точки $(0,0), (\frac{\pi}{6},1/2)$, это хорда $y=\frac{3}{\pi}x$, следовательно $\sin\frac{\pi}{9}> \frac{3}{\pi}\frac{\pi}{9}=1/3.$

[Null]

Почти чистая геометрия:
Пусть $AD$ высота. Нарисуем прямоугольный треугольник $AKL$ так чтобы:
1.$K$ лежит на $AC$. $AK=AD$
2.$\angle AKL$ прямой.
3. $\angle KAL=20^\circ$
4.$\angle BAL=60^\circ$
Тогда $BL=1$, $BC=BC$, $KL=\frac{1}{2}BC$, Можно проверить что проекции $BC$ и $KL$ на $BL$ покрывают его, получим то что нужно.

[Gagarin1968]

А можно ещё проще.
Как упомянул kotenok gav, всё сводится к неравенству

kotenok gav в сообщении #1473153 писал(а):

$\cos40^{\circ}<\frac{7}{9}$

И здесь без всякого Тейлора, используя только школьную тригонометрию (косинус разности двух углов), получаем:

$\displaystyle \cos \frac {2\pi}{9} = \cos \left (\frac {\pi}{4} - \frac {\pi}{36}\right ) = \cos \frac {\pi}{4} \cos \frac {\pi}{36} + \sin \frac {\pi}{4} \sin \frac {\pi}{36}$

Взглянув на последнее выражение, можно увидеть, что $\displaystyle \sin \frac {\pi}{4}=\cos \frac {\pi}{4}=\frac {\sqrt {2}}{2},~~~\cos \frac {\pi}{36}<1,~~~\sin \frac {\pi}{36}<\frac {\pi}{36}$.

Сопоставив всё это, можно легко прийти к искомому неравенству.
Брадиса или калькулятор, я так понимаю, использовать нельзя, но делить-то в уму до 3-го знака после запятой, я, надеюсь, дозволяется?

[novichok2018]

Неравенство для синуса - это всё равно матан, хоть и выглядит просто.

[Gagarin1968]

novichok2018 в сообщении #1473280 писал(а):

Неравенство для синуса - это всё равно матан

Да, но школьный элементарный.

[gris]

Каждый школьник уверен, что периметр вписанного в фиксированную окружность правильного многоугольника возрастает с числом сторон, приближаясь к длине этой окружности. А попроси доказать? Да вообще: разве все манипуляции с синусом как с функцией элементарны?
По задаче: если поверить школьнику, то периметр правильного девятиугольника больше периметра правильного шестиугольник, вписанного в ту же окружность. $9BC>6$

[Gagarin1968]

Gagarin1968 в сообщении #1473278 писал(а):

$\displaystyle \sin \frac {\pi}{36}<\frac {\pi}{36}$

novichok2018 в сообщении #1473280 писал(а):

Неравенство для синуса - это всё равно матан, хоть и выглядит просто

gris в сообщении #1473320 писал(а):

разве все манипуляции с синусом как с функцией элементарны?

По некоторому размышлению прихожу к выводу, что таки да, элементарны.
Вот тут я скоренько нацарапал тригонометрическую окружность (9-й класс).



Точка $P$ соответствует $\displaystyle \frac {\pi}{36}$ на этой окружности.
Тогда $\displaystyle \sin \frac {\pi}{36}$ - это расстояние $PQ$ от данной точки до оси абсцисс по перпендикуляру, а вот сам $\displaystyle \angle POX=\frac {\pi}{36}$ - это также расстояние от данной точки до оси абсцисс, но по дуге $\smile PR$, само собой, в радианах.
Очевидно, что угол больше, а, стало быть и $\displaystyle \sin \frac {\pi}{36}<\frac {\pi}{36}$.

Так что вполне себе геометрия - тригонометрия для 9 класса.

[gris]

расстояние вдоль дуги? ну да, чисто интуитивно, чтобы задачи решать, вводится и длина окружности и поверхность сферы. но это элементарно лишь в смысле "элементарно, пацаны".

[Gagarin1968]

gris в сообщении #1473508 писал(а):

чисто интуитивно, чтобы задачи решать, вводится и длина окружности и поверхность сферы. но это элементарно лишь в смысле "элементарно, пацаны"

gris
Это Вы зря. А как Вы думаете в школе преподносят геометрию с тригонометрией?
А вот так: сначала вводят длину окружности как предел постепенного приближения, сверху - описанными правильными многоугольниками, снизу - вписанными. И не на уровне "элементарно, пацаны", а с определённой степенью строгости, используя определения, леммы и теоремы.
После этого доказывается, что хорда окружности короче дуги, которую она стягивает. Но здесь Вы правы, доказательство больше качественное, на пальцах - вот, между точками окружности $P$ и $R$ укладывается резиночка точно по дуге, а вот мы резиночку потянули - и получили хорду, которая, естественно, (очевидно, само собой разумеется, ежу понятно и т.д.) короче дуги.
После этого вводится радианная мера угла, а уже после всего этого начинается школьная тригонометрия.

[novichok2018]

Доказать неравенство для синуса в школе честно нельзя. Картинки не доказательство. А если четверть не первая, угол мильон градусов и тд. Его и в матане честно доказать очень сложно, есть специальные статьи на тему от хороших математиков.