Лента Мебиуса как фактор тора

[wakeupnemo]

Помогите понять почему тор $S^1 \times S^1$ с отождествленными симметричными точками $(x,y) \sim (y,x)$ гомеоморфен ленте Мебиуса. Пытался представить через развертку тора, тогда граница ленты это диагональ квадрата $(x,x)$ но как дальше подойти к ленте Мебиуса не понятно.

[george66]

Если развёртку тора представить квадратиком, то диагональ делит его на два треугольника, которые отождествляются между собой симметрией относительно диагонали. Достаточно взять один из треугольников (например, нижний) и отождествить его стороны (нижнюю с правой). В исходном квадратике нижняя сторона отождествлялась с верхней, а верхняя (за счёт симметрии относительно диагонали) с правой.

[george66]

Хотя, рисую картинку и тоже не понимаю. А он правда гомеоморфен?

[пианист]

george66 в сообщении #1472133 писал(а):

А он правда гомеоморфен?

+1
У ленты Мебиуса есть граница. А какие точки тора станут граничными после указанного отождествления?

[g______d]

пианист в сообщении #1472136 писал(а):

А какие точки тора станут граничными после указанного отождествления?

Диагональ, как минимум (безотносительно к остальному).

[пианист]

Да, пожалуй.
Вопрос снимается.
Upd Туплю спросонок. Собс-но, это же у автора темы указано
Upd2

(эхх, раз уж я ввязался..)

Попытаюсь.
Берём квадрат - развёртку тора. Складываем по диагонали, идущей из левого нижнего в правый верхний угол, получаем прямоугольный треугольник. Теперь при сборке развертки мы должны склеить катеты, но при этом развернуть их так, чтобы вершины острых углов склеились с вершиной прямого. Вроде получается.
Особенно если на минуточку заменить вершину прямого угла кусочком линии, а после склейки стянуть обратно в точку.

[wakeupnemo]

Если нарисовать тор и на нем примерно провести $(x,x)$, то очертания границы ленты проявляются, но как склеивается все остальное не ясно. Может это можно как-то аналитически?

[пианист]

А Вам понятно, что развертка искомой фигуры получается из развертки тора складыванием пополам по диагонали (из квадрата получится прямоугольный треугольник), и что склеивать эту развертку нужно по катетам, но при этом так, чтобы острые углы склеились с прямым?

[gris]

Если взять бумажный тор и начать обминать его с поворотом на полный оборот, то можно получить лист Мёбиуса. Это не то?

[пианист]

На всякий случай, если понятно предыдущее мое сообщение, но непонятно, что получается при такой склейке, то под катом рассуждение, которое поможет (надеюсь ) это понять.

(Оффтоп)

Ну ок, пусть после складывания развертки тора пополам получился треугольник $ABC$, $A$ прямой угол. В нем гипотенуза $BC$ граница фигуры, а катеты $AC$ и $AB$ нужно склеить, но только "наоборот" (конечно, все это нужно рисовать на бумаге; обозначения, каюсь, кривоватые).
Для упрощения понимания того, что получится, давайте проведем в треугольнике высоту $AK$ и по ней разрежем на две части, $AKB$ и $AKC$, которые склеим гипотенузами, в нужном порядке, т.е. $B$ к $A$ и $A$ к $C$ (после разрезания это легко сделать/представить).
Получится квадрат $K (B-A) K (C-A)$, в котором стороны $K(B-A)$ и $K(C-A)$ составляют границу нашей фигуры, а стороны $(B-A)K$ и $(C-A)K$, по которым мы резали, нужно обратно склеить, в правильном порядке, т.е. с поворотом. Получилась классическая лента Мебиуса.