Последовательности, задающиеся рекуррентно

[vatrushka]

Здравствуйте
У меня возник вопрос касательно последовательностей
Например, у нас есть последовательность , задающаяся рекуррентно
$a_n = f(a_{n-1})$.
Могу ли я утверждать что если у последовательности и есть предел, то он точно будет каким - то решением уравнения $t = f(t)$ и почему?
Так же следующий вопрос: если есть последовательность, задающаяся по правилу либо $a_n = f(a_{n-1})$, либо $a_n = g(a_{n-1})$, то все возможные пределы такой последовательности это пересечение множеств решения уравнений $t = f(t)$ и $t = g(t)$
Спасибо!

[mihaild]

Если последовательность предела не достигает, то её предел на зависит от значения $f(\lim a_n)$. Можете ли вы придумать $f$ и $a_0$ так, чтобы последовательность сходила, но предела не достигала? После этого останется поправить $f$ так, чтобы в предельной точке она отличалась от предела (если изначально с ним совпадала).

[vatrushka]

Что - то я не очень понимаю к чему вы клоните.

[StaticZero]

vatrushka в сообщении #1472105 писал(а):

Что - то я не очень понимаю к чему вы клоните.

К тому, что вы забыли какую-то степень гладкости приписать функции $f$?

[vatrushka]

Да, теперь понял, как такое может быть
Хорошо, уточню, если $f(t)$ и $g(t)$ непрерывны, конечны и всюду дифференцируемы и т. д.

[StaticZero]

vatrushka, а рассмотреть $a_n$, как фундаментальную последовательность, можете? (Я не знаю, это уже считается полным решением?)

[vatrushka]

А, то есть как я понимаю это следует из равносильности сходимости и сходимости в себе, так?