Липшицево отображение и дифференцируемость

[demolishka]

Пусть $F: \mathbb{E} \to \mathbb{H}$ есть липшицево отображение между конечномерным банаховым пространством $\mathbb{E}$ и сепарабельным гильбертовым пространством $\mathbb{H}$. Тогда по обобщенной теореме Радемахера производная Фреше $F'(x) \in \mathcal{L}(\mathbb{E};\mathbb{H})$ существует для почти всех $x \in \mathbb{E}$. Предположим, что для некоторой непрерывной функции $\widetilde{F} \colon \mathbb{E} \to \mathcal{L}(\mathbb{E};\mathbb{H})$ известно, что $F'(x) = \widetilde{F}(x)$ для почти всех $x \in \mathbb{E}$. Верно ли, что $F$ непрерывно дифференцируемо?

Если $\mathbb{E}$ одномерно, то липшицевость дает абсолютную непрерывность и утверждение вытекает из формулы Ньютона-Лейбница для абсолютно непрерывных функций. Можно ли эту идеологию перенести на общий случай?

[g______d]

Можно попробовать рассмотреть произвольный отрезок и сузить на него функцию, затем применить одномерный результат. Получим, что в любой точке существует производная в любом направлении, причём равная соответствующей компоненте $\widetilde F$.

[demolishka]

g______d в сообщении #1470163 писал(а):

Получим, что в любой точке существует производная в любом направлении, причём равная соответствующей компоненте $\widetilde F$.

Да я тоже про это думал, но не сообразил как доказывать равномерность. А потом вот вспомнил, что где-то видел, что для липшицевых функций дифференцируемость по Гато влечет дифференцируемость по Фреше и это простое упражнение тут как раз к месту. Спасибо

[demolishka]

g______d в сообщении #1470163 писал(а):

Получим, что в любой точке существует производная в любом направлении, причём равная соответствующей компоненте $\widetilde F$.

А вот я еще раз задумался и понял, что не понимаю откуда это будет следовать. Точки дифференцируемости сужения $F$ на отрезок-направление и точки дифференцируемости исходной функции могут совершенно не пересекаться и про совпадение в точках отрезка производной сужения $F$ и компоненты $\widetilde{F}$ мы не знаем ничего...

[g______d]

demolishka в сообщении #1470344 писал(а):

А вот я еще раз задумался и понял, что не понимаю откуда это будет следовать. Точки дифференцируемости сужения $F$ на отрезок-направление и точки дифференцируемости исходной функции могут совершенно не пересекаться и про совпадение в точках отрезка производной сужения $F$ и компоненты $\widetilde{F}$ мы не знаем ничего...

Мне пока лень писать. Возможно, если я начну писать, обнаружится ещё какая-то проблема.

Если мы сузили на отрезок и получили совпадение в почти всех точках отрезка, то на самом деле оно будет во всех точках отрезка, поскольку производная и сама функция непрерывны.

Видимо, это отвечает на Ваш вопрос, если я правильно его понял.

Некоторая дополнительная проблема в том, что мы это получаем не для всех отрезков, а только для почти всех.

Ну а тогда такой вопрос: есть непрерывная функция $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$, дифференцируемая почти во всех точках, и почти во всех точках $\nabla f=g$, где $g\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n$ -- непрерывная функция. Верно ли, что $f$ дифференцируема во всех точках? Вроде, это простое упражнение.

Также вроде исходная задача (по крайней мере, в смысле Гато) ровно к этому сводится. Я сначала упустил, что $\mathbb E$ конечномерно.

[demolishka]

g______d в сообщении #1470349 писал(а):

Если мы сузили на отрезок и получили совпадение в почти всех точках отрезка, то на самом деле оно будет во всех точках отрезка, поскольку производная и сама функция непрерывны.

Это понятно. Не понятно как получить "совпадение в почти всех точках отрезка". Если $F'(x)=\widetilde{F}(x)$ для почти всех $x$, то эти "почти все" $x$ могут не лежать на данном отрезке или же лежать, но составлять множество не полной меры. И тогда для этого отрезка нам неизвестно "совпадение в почти всех точках отрезка".

g______d в сообщении #1470349 писал(а):

Некоторая дополнительная проблема в том, что мы это получаем не для всех отрезков, а только для почти всех.

Вот мне не понятно даже почему хотя бы один такой хороший отрезок (с совпадением почти везде) найдется. Конечно если найти множество хороших отрезков с концами, образующими всюду плотное множество на сфере (вокруг данной точки $x$), то задача решена.
UPD. Наверное это следует из принципа Кавальери.

g______d в сообщении #1470349 писал(а):

Ну а тогда такой вопрос: есть непрерывная функция $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$, дифференцируемая почти во всех точках, и почти во всех точках $\nabla f=g$, где $g\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n$ -- непрерывная функция. Верно ли, что $f$ дифференцируема во всех точках?

Нет. Контрпример дает канторова лестница.

[g______d]

demolishka в сообщении #1470353 писал(а):

Нет. Контрпример дает канторова лестница.

Хм, да, действительно. Что-то я туплю. Но у нас она ещё липшицева. Вообще, наверное, абсолютной непрерывности достаточно (в 1D). Да, в целом нужно аккуратнее.

[demolishka]

demolishka в сообщении #1470353 писал(а):

Наверное это следует из принципа Кавальери.

Ну да. Для простоты рассмотрим двумерный случай и $x=0$. Рассмотрим круг $D$ радиуса 1 и разобьем его на отрезки $I_{\alpha}$ длины 1 (из нуля до границы круга) по углу $\alpha \in [0,2\pi]$. Пусть $\widetilde{D} \subset D$ состоит из тех $y$ для которых $F'(y)=\widetilde{F}(y)$. По предположению $\widetilde{D}$ имеет полную меру. Пусть $C_{k}$ состоит из тех $\alpha \in [0,2\pi]$, для которых $\lambda_{1}(I_{\alpha} \cap \widetilde{D}) \geq 1 - 1/k$. Тогда по принципу Кавальери $\lambda_{2}(\widetilde{D} ) = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \lambda_{1}(I_{\alpha} \cap \widetilde{D}) d\alpha$ и, следовательно, $C_{k}$ имеет полную меру. Тогда по непрерывности меры пересечение $C_{k}$, которое соответствует искомым отрезкам, также имеет полную меру. В частности, получаем всюду плотность концов отрезков на единичной окружности.

[g______d]

demolishka в сообщении #1470362 писал(а):

В частности, получаем всюду плотность концов отрезков на единичной окружности.

Это теорема Фубини фактически, в сферических координатах.

[demolishka]

g______d в сообщении #1470363 писал(а):

Это теорема Фубини фактически, в сферических координатах.

Да, я просто случай подсчета меры множества разбиением на множества меньшей размерности называю принципом Кавальери. Хотя конечно для общих измеримых множеств обоснование этого дает теорема Фубини. Еще раз спасибо

[demolishka]

g______d, не подскажете еще по близкому вопросу? Пусть $F \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{H}$ все также липшицево отображение. Пусть в $\mathbb{R}^{n}$ задано дифференциальное уравнение $\dot{x}=f(x)$ с глобально липшицевым векторным полем $f$. Тогда $\mathbb{R}^{n}$ расслаивается на полные траектории этого дифференциального уравнения. Можно ли доказать, что для почти всех $x_{0} \in \mathbb{R}^{n}$ для соответствующей полной траектории $x(t;x_{0})$ с $x(0;x_{0})=x_{0}$ функция $F$ будет дифференцируемой в $x(t;x_{0})$ для почти всех $t \in \mathbb{R}$?

[g______d]

demolishka в сообщении #1470373 писал(а):

Пусть $F \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{H}$ все также липшицево отображение. Пусть в $\mathbb{R}^{n}$ задано дифференциальное уравнение $\dot{x}=f(x)$ с глобально липшицевым векторным полем $f$. Тогда $\mathbb{R}^{n}$ расслаивается на полные траектории этого дифференциального уравнения. Можно ли доказать, что для почти всех $x_{0} \in \mathbb{R}^{n}$ для соответствующей полной траектории $x(t;x_{0})$ с $x(0;x_{0})=x_{0}$ функция $F$ будет дифференцируемой в $x(t;x_{0})$ для почти всех $t \in \mathbb{R}$?

Кажется, что в данном случае тоже достаточно аргумента типа Фубини: нужно использовать тот факт, что $F$ дифференцируема почти везде на $\mathbb R^n$ (теорема Радемахера). Дальше доказывать, что если борелевское подмножество $B\subset \mathbb R^n$ имеет меру нуль, то для почти всех $x_0\in \mathbb R^n$ пересечение $B$ с траекторией, начинающейся из $x_0$, имеет одномерную хаусдорфову меру нуль.

Заметим, что в другую сторону это неверно: например, для $f=0$.

В нужную нам сторону похоже на правду. Но я не знаю, как это быстро доказать. Грубо говоря, в тех точках, где $f=0$, это тривиально (траектории сами являются точками). Если $f(x)\neq 0$, то локально должна быть какая-то теорема о выпрямлении, но я точно не знаю, какая именно в ней нужна гладкость. Может и липшицевости достаточно.

Мне кажется, что верно следующее:

Возьмём $x_0$ такое, что $f(x_0)\neq 0$, и в точке $x_0$ нарисуем гиперплоскость, перпендикулярную $f(x_0)$. Тогда существует окрестность $U$ точки $x_0$ в этой гиперплоскости и $\varepsilon>0$, такое что решение уравнения даёт билипшицев гомеоморфизм между некоторой окрестностью точки $x_0$ в $\mathbb R^n$ и множеством $U\times (-\varepsilon,\varepsilon)$. Если так, то из этого всё будет следовать.

Конечно, конечным числом таких окрестностей не обойтись, но счётным можно, и для вопросов множеств меры нуль этого должно быть достаточно.

[demolishka]

g______d в сообщении #1470381 писал(а):

Мне кажется, что верно следующее:

Да, это верно. Я что-то похожее (с трансверсалями) тоже вчера хотел вытворить, но не стал пытаться до конца доводить. А так вроде понятно. Только сегодня понял, что для моего случая достаточно, чтобы для почти всех $x_{0}$ дифференцируемость была в точках $x(-k,x_{0})$ при $k=1,2,\ldots$. Тут можно обойтись без всяких Фубини, но билипшицевость потока тоже помогает. Спасибо