Конформно отобразить область

[artempalkin]

Дорогие друзья, уже кучу часов потратил на решение этой задачи, ничего придумать не могу

Нужно конформно отобразить область https://ibb.co/xqK9WBw (незаштрихованную, то есть полукруг с кусочком внизу) на единичный круг. При этом речь не идет о каких-то сложных вещах типа многоугольников либо принципа симметрии, а нужно пользоваться элементарными функциями (дробно-рациональная, экспонента, логарифм, тригонометрические, функция Жуковского).

Времени я реально потратил очень много, всякое пытался сделать. Две основные идеи было:

1) $w(z)=\frac 1 {z-i(\sqrt 3-2)}$. В таком случае точка пересечения двух больших окружностей переносится в бесконечность, единичный круг сдвигается немножко вверх и становится пошире. Получается своего рода фигура "замочная скважина", т.к. из окружности перпендикулярно ей выходят два луча. Я думал, что у меня получится перенести центр круга в начало координат, потом применить какую-то рациональную степень, чтобы развернуть это все в верхнюю полуплоскость без полукруга, а дальше уже что-то можно будет придумать, но... оказалось, что угол между лучами (а это есть угол между исходными окружностями) не выражается через рациональное число $\pi$ (либо я не придумал, как) :(

2) $w(z)=\frac {z-1}{z+1}$. Это разворачивает нашу фигуру в два перпендикулярных луча, которые соединены дугой окружности, но один из углов не будет $\frac {\pi}2$, и я тоже не знаю, что делать дальше... :( Подскажите, пожалуйста

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1469385 писал(а):

потом применить какую-то рациональную степень

А иррациональную степень нельзя?

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1469412 писал(а):

А иррациональную степень нельзя?

Я, честно говоря, слабое имею понятие, как работают иррациональные степени в комплексном смысле (бесконечное количество ветвей?). Но, я думаю, нельзя, т.к. такие вещи ни в каких "обычных" учебниках не описываются. Здесь нужно какое-то адекватное "обычное" отображение.

[Padawan]

$z^k$ переводит угол $0<\arg z<\alpha$ в $0<\arg z<k\alpha$.

-- Чт июн 18, 2020 18:11:02 --

artempalkin в сообщении #1469417 писал(а):

Здесь нужно какое-то адекватное "обычное" отображение.

Самое обычное. Рациональная степень или иррациональная -- не важно. Модуль возводится в степень $k$, аргумент умножается на $k$. Странно, что у Вас возникала ассоциация, что допускаются только рациональные показатели.

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1469419 писал(а):

$z^k$ переводит угол $0<\arg z<\alpha$ в $0<\arg z<k\alpha$.

Ага, ну, типа "нулевая ветвь". Если можно пользоваться такой хитрой степенью, тогда, конечно, задача решима.

Но если б нашлось другое решение, я был бы более спокоен :) Просто я ни в одной задаче ни одного вуза в обычном курсе ТФКП не встречал, чтобы было необходимо такое отображение (иррациональная степень. В данном случае что-то связанное с $\arccos \frac 35$).

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1469422 писал(а):

Но если б нашлось другое решение, я был бы более спокоен :)

Так есть же теорема единственности конформного отображения. Определено однозначно с точностью до конформного автоморфизма круга на себя (который есть дробно-линейное отображение).

[artempalkin]

Ага, спасибо большое, вы меня обнадежили, а то я уж потерял надежду :)
А вы не подскажете, есть какой-то быстрый онлайн способ визуализации таких отображений? В смысле, в этом и суть задачи, конечно, но хотя бы проверить себя как-то хотелось. Все способы, которые я придумал (с помощью Маткада, например), достаточно трудно реализуемые.

-- 18.06.2020, 16:22 --

artempalkin в сообщении #1469426 писал(а):

Определено однозначно с точностью до конформного автоморфизма круга на себя (который есть дробно-линейное отображение).

Я слышал про "с точностью до трех точек границы", кажется. Наверное, это то же самое.

[Otta]

(Оффтоп)

artempalkin
Если устанете решать - откуда задача, известно, не хочется преждевременно интерес гробить.
Степени там рациональные.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1469432 писал(а):

Степени там рациональные.

Может, и есть какая-то рациональность, но я не знаю, как ее найти :) Как доказать, является ли $\frac {\arccos \frac 35}{2\pi}$ рациональным числом? :)

-- 18.06.2020, 16:34 --

artempalkin в сообщении #1469434 писал(а):

Если устанете решать

Я уже очень сильно устал ее решать :)

[Markiyan Hirnyk]

Формула Кристоффеля-Шварца для многоугольников, ограниченных дугами окружностей, рассмотрена в диссертации
Computation of Conformal Maps by Modified Schwarz-Christoffel Transformations 1990 (Ph.D. thesis) by Louis H. Howell. Указанная диссертация доступна в Интернете.

[thething]

artempalkin
А мне Ваш первый вариант нравится, только в числитель надо тоже что-то поставить, того же типа, например, $z-(2-\sqrt3)i$ или $(2-\sqrt3)z+i$. Проверьте, когда получается симметричная граница с прямолинейными частями, которую подходящей дробной степенью можно будет развернуть... А там уже дело техники и Жуковского.

[Otta]

Ага, как-то так там делается.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1469460 писал(а):

Ага, как-то так там делается.

Может подскажете, где "там"? :) Я по большому счету решил уже, просто отображения получаются мучительно-некрасивые. Облегчите мне страдания :)

[thething]

artempalkin
Ну, я сейчас прикинул, при помощи Вольфрама (руками лень считать), что второй предложенный мною вариант подстановки в числитель даёт хорошие симметричные значения для точек $\pm1$. А так-то получается, что в плане вычислений самый объёмный только этот первый шаг, дальше должно идти уже по табличным отображениям.

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1469419 писал(а):

Рациональная степень или иррациональная -- не важно.

Нормальный получается угол, я ошибся, его считая :) Степень понадобится рациональная. Так что, видимо, все правильно я делал. Спасибо за помощь!

artempalkin в сообщении #1469426 писал(а):

А вы не подскажете, есть какой-то быстрый онлайн способ визуализации таких отображений?

Вопрос в силе :)

-- 18.06.2020, 18:18 --

thething в сообщении #1469469 писал(а):

руками лень считать

Да уж, это точно...

thething в сообщении #1469469 писал(а):

в числитель даёт хорошие симметричные значения для точек $\pm1$

Ага, я попробую, спасибо. Честно говоря, я не совсем пока понимаю, как интуитивно предсказывать, как работают эти отображения.

thething в сообщении #1469469 писал(а):

самый объёмный только этот первый шаг

Зато, блин, очень объемный :( Но все решимо, конечно