Решение СЛАУ

[pmu_1]

Найдите такие решение СЛАУ

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x_1+x_2-x_3+x_4-x_5=0 \\ x_1+x_2-x_4=0 \\ \end{array} \right.$$

для которых $x_3=x_4$

Если записать все коэффициенты перед икс в виде одной матрицы, то получим

$$\begin{pmatrix} 2& 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& 0& -1& 0 \end{pmatrix}$$

После этого, вычтя из первой строки вторую, умноженную на $-2$ и поменяв строки местами, получим

$$\begin{pmatrix} 1& 1& 0& -1& 0\\ 0& -1& -1& 3& -1 \end{pmatrix}$$

Базисные переменные : $x_1,x_2$. Свободные : $x_3,x_4,x_5$
Выразив базисные через свободные, получим систему:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1= x_4-x_2& \\ x_2=-x_3+3x_4-x_5& \\ \end{array} \right.$$

Теперь возможны три случая:
1) $x_3 = 0, x_4 = 0, x_5 = 1$
2) $x_3 = 0, x_4 = 1, x_5 = 0$
3) $x_3 = 1, x_4 = 0, x_5 = 0$

Из которых устраивает только первый, поэтому решением будет:
$x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = 0, x_4 = 0, x_5 = 1$

И теперь вопрос. Так ли решаются подобные задания? Не потеряны другие решения? Если да, то как их искать?

[york]

pmu_1 в сообщении #1469361 писал(а):

Не потеряны другие решения?

Конечно потеряны.
$x_1=0, x_2=3, x_3=3, x_4=3, x_5=3$

[pmu_1]

york
Да, действительно подходит. А это связано с тем, что на самом деле

pmu_1 в сообщении #1469361 писал(а):

Теперь возможны три случая:
1) $x_3 = 0, x_4 = 0, x_5 = 1$
2) $x_3 = 0, x_4 = 1, x_5 = 0$
3) $x_3 = 1, x_4 = 0, x_5 = 0$

не верно и там 6 случаев а не 3(потерял $x_3 = 1, x_4 = 1, x_5 = 0 ; x_3 = 1, x_4 = 0, x_5 = 1 ; x_3 = 0, x_4 = 1, x_5 = 1$) и подходит $x_3 = 1, x_4 = 1, x_5 = 0$ ? Или вы нашли их каким-то другим способом?

[Евгений Машеров]

Их, вообще-то, бесконечно много.

[TOTAL]

pmu_1 в сообщении #1469361 писал(а):

Так ли решаются подобные задания? Не потеряны другие решения? Если да, то как их искать?

Исключите из системы (трёх уравнений) переменные одну за другой. Останется одно уравнение.

[pmu_1]

Составил систему из трех уравнений и получил общее решение

$$\begin{pmatrix} -x_4+x_5\\ 2x_4-x_5\\ x_4\\ x_4\\ x_5 \end{pmatrix}$$

Получается, что это и есть все решения данной СЛАУ и ФСР никакое искать не нужно?

[artempalkin]

pmu_1 в сообщении #1469361 писал(а):

для которых $x_3=x_4$

Мне кажется, вы умеете решать системы уравнений, причем в достаточно общем виде (свободные переменные, базисные переменные и все такое). Почему вы не добавите в свою систему уравнение $x_3=x_4$ (или, что то же самое, $x_3-x_4=0$), и потом решите систему из трех уравнений?

-- 18.06.2020, 14:09 --

pmu_1 в сообщении #1469374 писал(а):

Получается, что это и есть все решения данной СЛАУ и ФСР никакое искать не нужно?

Зависит от того, в каком виде у вас требуют представлять ответ. Думаю, большинство преподавателей хотят видеть ФСР.

[pmu_1]

artempalkin
Благодарю!