Билинейные функции по Гельфанду

[Vladimir Pliassov]

"Наличие в комплексном пространстве двух типов линейных функций приводит к существованию целых четырех типов билинейных функций -- линейных первого рода и по $ x$ и по $ y$, первого рода по $ x$ и второго рода по $ y$, второго рода по $ x$ и первого по $ y$ и второго рода по обоим аргументам. Но третий и четвертый типы комплексно сопряжены соответственно ко второму и первому, а билинейные функции первого типа определяются в комплексном пространстве буквально так же, как и в вещественном. Поэтому мы остановимся подробнее лишь на билинейных формах второго типа." (Гельфанд. Лекции по линейной алгебре, стр. 88-89.)

1.

Что имеется в виду под "третий и четвертый типы комплексно сопряжены соответственно ко второму и первому"?

Возьмем второй и третий типы.

Если (по Гельфанду) второй тип это $A(x;y)=\sum\limits_{i,k=1}^n {a_{ik}\xi_i\bar\eta_k}$, то третий тип (который не рассматривается) это $A(x;y)=\sum\limits_{i,k=1}^n {a_{ik}\bar\xi_i\eta_k}$, не так ли?

В таком случае $a_{ik}\xi_i\bar\eta_k$ и $a_{ik}\bar\xi_i\eta_k$ должны быть комплексно сопряжены по отношению друг к другу.

Но это так, только если $a_{ik}$ есть вещественное число.

То же самое касается первого и четвертого типа.

Если первый тип это $A(x;y)=\sum\limits_{i,k=1}^n {a_{ik}\xi_i\eta_k}$, то четвертый должен быть $A(x;y)=\sum\limits_{i,k=1}^n {a_{ik}\bar\xi_i\bar\eta_k}$.

В таком случае и они также будут комплексно сопряжены по отношению друг к другу, только если $a_{ik}$ вещественное число.

Имеет ли в виду Гельфанд, что речь идет лишь о формах, матрицы которых вещественны?

2.

Под тем, что "билинейные функции первого типа определяются в комплексном пространстве буквально так же, как и в вещественном", наверное, имеется в виду, что они удовлетворяют одним и тем же аксиомам?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1469311 писал(а):

В таком случае $a_{ik}\xi_i\bar\eta_k$ и $a_{ik}\bar\xi_i\eta_k$ должны быть комплексно сопряжены по отношению друг к другу.

Нет. Вы зря написали одни и те же коэффициенты $a_{ik}$ для обоих типов. Функция третьего типа является сопряженной к какой-то функции второго типа, не обязательно с той же матрицей.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо! Я именно полагал, что все четыре типа имеют одну и ту же матрицу.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1469314 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1469311 писал(а):

В таком случае $a_{ik}\xi_i\bar\eta_k$ и $a_{ik}\bar\xi_i\eta_k$ должны быть комплексно сопряжены по отношению друг к другу.

Нет. Вы зря написали одни и те же коэффициенты $a_{ik}$ для обоих типов. Функция третьего типа является сопряженной к какой-то функции второго типа, не обязательно с той же матрицей.

То есть для этих четырех типов билинейных функций можно взять две взаимно-сопряженные матрицы (матрицы, все соответствующие элементы которых взаимно-сопряжены): $A=(a_{ik})$ и $\bar A=(\bar a_{ik})$, -- матрицу $A$ для первого и второго типа, матрицу $\bar A$ для третьего и четвертого.

Тогда второй и третий типы, то есть $A_2(x;y)=\sum\limits_{i,k=1}^n {a_{ik}\xi_i\bar\eta_k}$ и $A_3(x;y)=\sum\limits_{i,k=1}^n {\bar a_{ik}\bar\xi_i\eta_k}$, а также первый и четвертый типы, то есть $A_1(x;y)=\sum\limits_{i,k=1}^n {a_{ik}\xi_i\eta_k}$ и $A_4(x;y)=\sum\limits_{i,k=1}^n {\bar a_{ik}\bar\xi_i\bar\eta_k}$, будут комплексно сопряжены друг с другом.

Если же матрицы первого - четвертого и второго - третьего типов не будут взаимно сопряжены, то и функции соответствующих типов не будут взаимно сопряжены.

(Если две матрицы вещественны и равны, то можно считать их соответствующие элементы взаимно-сопряженными, таким образом, можно взять одну вещественную матрицу для всех четырех типов функций.)

Правильно?

[mihaild]

Да, правильно.
На самом деле тут можно и без матриц (и ИМХО бескоординатный подход тут лучше). Просто если $A(x, y)$ - билинейная функция второго типа, то $\overline{A(x, y)}$ - билинейная функция третьего типа, и наоборот. Проверяется непосредственно по определению.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

Буду думать.