Интегральное уравнение

[artempalkin]

Задача из контрольных 2-го курса Бауманского ТУ, функан.

Решите интегральное уравнение (функция $x$ считается $2\pi$-периодичной):

$$t+1=x(t)+\frac 1\pi\int\limits_0^{2\pi}x(s)\cos(t-s) ds.$$

Я сначала не понял, зачем дано условие периодичности функции, ну ладно. Наверное, решать можно по-разному, я предполагаю, что $x(t)$ является дифференцируемой (она все-таки равна интегралу от чего-то + дифференцируемая функция), беру дважды производную от обеих частей, получаю:

$$0=x''(t)-\frac 1\pi\int\limits_0^{2\pi}x(s)\cos(t-s) ds.$$

Если сложить эти два уравнения, получится дифур, который можно решить и подставить решение в исходное уравнение и т.д.. Муторновато, но в целом вроде бы задача разворачивалась.

Но тут я заметил одну странную вещь. Если в исходное уравнение подставить $t \to t+2\pi$, то получится интересно:

$$t+2\pi+1=x(t+2\pi)+\frac 1\pi\int\limits_0^{2\pi}x(s)\cos(t+2\pi-s) ds.$$

Учтя заявленную периодичность $x(t)$ и известную косинуса:

$$t+2\pi+1=x(t)+\frac 1\pi\int\limits_0^{2\pi}x(s)\cos(t-s) ds.$$

Это уравнение противоречит исходному. Чтобы доказать это, достаточно вычесть из исходного полученное и увидеть, что $2\pi=0$. Это свидетельствует, в моем понимании, об очевидном отсутствии решений у исходного уравнения. Но, может быть, я чего-то не понимаю? Подскажите, пожалуйста. По идее задача не должна решаться так просто (при этом там все задачи примерно такие).

[Padawan]

А при каких $t$ верно исходное уравнение?

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1468895 писал(а):

А при каких $t$ верно исходное уравнение?

Не знаю, никаких ограничений в задаче не дается. Я так полагаю, что при любых (тем более если речь идет о периодической функции).

[Padawan]

Тогда Вы правы, решений нет. Слева не периодическая функция, справа - периодическая. Если предложить, что левая часть продолжена с периодом $2\pi$, то можно думать.

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1468900 писал(а):

Тогда Вы правы, решений нет.

Очень странная ситуация. Подозреваю, что $2\pi$-периодичность - ошибка или рудимент, оставшийся из условия другой задачи. Приведу еще пару задач из других вариантов той же контрольной (условие в точности такое же):

$$t-8=x(t)+\frac 1 {\pi}\int\limits_0^{2\pi}x(s)\cos(t-s)ds$$

$$t-2=x(t)-\frac 1 {\pi}\int\limits_0^{2\pi}x(s)\sin(t-s)ds$$

Задачи под копирку, и у всех нет решений. Очень странно.

-- 14.06.2020, 20:55 --

Подскажите, а если отбросить условие периодичности, правильно ли будет сделать вывод, что $x(t)$ дифференцируемая (и даже дважды в итоге)?

[Padawan]

Считайте (уточните у преподавателя), что уравнение задано на $[0,2\pi]$.

-- Вс июн 14, 2020 22:59:08 --

Padawan в сообщении #1468903 писал(а):

Подскажите, а если отбросить условие периодичности, правильно ли будет сделать вывод, что $x(t)$ дифференцируемая (и даже дважды в итоге)?

Вы $\cos(t-s)$ раскройте по формуле косинус разности и разбейте интеграл на два. И все ясно станет

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1468903 писал(а):

И все ясно станет

Ага, ну да, тогда ясно, что функция дифференцируемая, и при этом сразу получается решение моего дифура. Спасибо! Я думаю, что на самом деле опечатка в условии, а так в целом задача несложная.