ОДУ не разрешенные относительно производной

[Mitry]

Имеется дифференциальное уравнение, не разрешенное относительно производной $y=f(x,y')$. Решаем методом введения параметров. Берем $y'=p$. Тогда получаем систему
$y=f(x,p)$
$dy=pdx$.
Из второго уравнения получается
$(\frac{\partial f}{\partial x}-p)dx+\frac{\partial f}{\partial p}dp=0$.
Если $p=g(x,C)$ является решением этого уравнения, то $y=f(x,g(x,C))$ будет решением уравнения $y=f(x,y')$.
Непонятно мне в этом вот что. Если взять $y'(x)=g(x,C)$ и проинтегрировать его, то этот интеграл может и не удовлетворять исходному уравнению. Почему так получается?

[kotenok gav]

При интегрировании обе части уравнения будут отличаться на константу.

[Mitry]

kotenok gav в сообщении #1468378 писал(а):

При интегрировании обе части уравнения будут отличаться на константу.

Запишем так
$y=\int\limits_{}^{}f(x,g(x,C))dx+D$
Смущает, что появляется вторая произвольная постоянная, но где конкретно ошибка я не понял

[kotenok gav]

Ну смотрите. $f(x,y')$ не будет зависеть от этой константы. А $y$ будет.