УМФ Задача на решение в цилиндрических функциях

[tav]

Дан цилиндр высоты $h$. Основания цилиндра теплоизолированы. Боковая поверхность поддерживается при температуре $\cos(\frac{3\pi z}{h})$ . Начальная температура цилиндра ноль. Найти температуру цилиндра $u(r,z,t)=?$.
$\frac{\partial u}{\partial z}|_{z=0} = 0\ \ \ \frac{\partial u}{\partial z}|_{z=h} = 0$
$u(r,z,0)=0\ \ \ u(r_0,z,t)=\cos(\frac{3\pi z}{h})$
$u_t=a^2\Delta u$
Из вида граничных условий предположил, что решение нужно искать в виде: $u(r,z,t)=v(r,t)\cos(\frac{3\pi z}{h})$
Тогда: $v_t=a^2\Delta_rv-\frac{9a^2\pi^2}{h^2} v$

$v(r,0)=0\ \ \ v(r_0,t)=1$

$v(r,t)=R(r)T(t)$

$\frac{T'}{a^2T}+\frac{9a^2\pi^2}{h^2}=\frac{\Delta_rR}{R}$

$\frac{T_n'}{a^2T_n}+\frac{9a^2\pi^2}{h^2}=-\lambda_n$

$T_n(0)=0 \Rightarrow T_n=0 $ нет нетривиальных решений

тоже самое получается, если представить решение ,как $u(r,z,t)=R(r)Z(z)T(t)$

Подскажите,как это можно решить?

[Vince Diesel]

Можно попробовать убрать младший член домножением на экспоненту: $w=\exp\left\{-\frac{9a^2\pi^2}{h^2}t\right\} v$.

[tav]

Vince Diesel в сообщении #1466976 писал(а):

Можно попробовать убрать младший член домножением на экспоненту: $w=\exp\left\{-\frac{9a^2\pi^2}{h^2}t\right\} v$.

Всё равно нулевое начальное условие зануляет $T(t)$ при разделении переменных $w=R(r)T(t)$

[Утундрий]

tav в сообщении #1466926 писал(а):

Из вида граничных условий предположил, что решение нужно искать в виде: $u(r,z,t)=v(r,t)\cos(\frac{3\pi z}{h})$

Очевидно, это предположение не оправдалось.

Найдите лучше гармоническую функцию, совпадающую с граничным условием на стенке цилиндра.

[tav]

Утундрий в сообщении #1466987 писал(а):

Найдите лучше гармоническую функцию, совпадающую с граничным условием на стенке цилиндра.

То есть $\Delta f=0\ \ \ f(r,z)=\xi(r)\cos(\frac{3\pi z}{h})$
$\xi(r_0)=1$
$\Delta_r\xi=\frac{9\pi^2}{h^2}\xi$
Замена: $r=y\frac{3\pi}{h}$ тогда $\xi(\frac{3\pi r}{h})=AI_0(\frac{3\pi r}{h})+BK_0(\frac{3\pi r}{h})$

$I_0$ -модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 0
$K$-функция Макдональда
$B=0$-ограниченность

тогда $f(r,z)=\frac{I_0(\frac{3\pi r}{h})}{I_0(\frac{3\pi r_0}{h})}\cos(\frac{3\pi z}{h})$

Теперь представим $u(r,z,t)=f(r,z)T(t)$
И все равно при разделении переменных опять $T=0$

[Утундрий]

$u=f+w$

[tav]

Утундрий в сообщении #1467068 писал(а):

$u=f+w$

$u(r,z,t)=f(r,z)+w(r,z,t)$
$f(r,z)=\frac{I_0(\frac{3\pi r}{h})}{I_0(\frac{3\pi r_0}{h})}\cos(\frac{3\pi z}{h})$
тогда $w(r_0,z,t)=0\ \ \ w(r,z,0)=-f(r,z)$
если искать решение в виде $w(r,z,t)=-f(r,z)v(t)$ получается $w=0$
Может ли вовсе не быть зависимости от времени?

[Утундрий]

Идея в следующем.

Мы ищем функцию координат и времени $u(t,{\mathbf{x}}) $, удовлетворяющую уравнению теплопроводности $ \partial _t u = \hat L[u]$ внутри области $t > 0,~{\mathbf{x}} \in V $ и стационарному граничному условию $\hat \Gamma [u] = \gamma ({\mathbf{x}})$ на границе этой области $t > 0,~{\mathbf{x}} \in \partial V $.

При данных условиях существует предел $ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } u(t,{\mathbf{x}}) = :u_\infty ({\mathbf{x}})$.

Эта функция одних только координат удовлетворяет уравнению $ \hat L[u_\infty ] = 0$ в области $t > 0,~{\mathbf{x}} \in V $ и граничному условию $ \hat \Gamma [u_\infty ] = \gamma ({\mathbf{x}})$ на границе области $t > 0,~{\mathbf{x}} \in \partial V$.

Введём функцию $ w(t,{\mathbf{x}}): = u(t,{\mathbf{x}}) - u_\infty ({\mathbf{x}})$.

Которая удовлетворяет уравнению $ \partial _t w = \hat L[w]$ в $t > 0,~x \in V $ и условию $ \hat \Gamma [w] = 0$ на границе $t > 0,~{\mathbf{x}} \in \partial V$.

И вот теперь можно применить метод Фурье.

[tav]

Спасибо за подробное объяснение!
Получается $u(r,z,t)=f(r,z)+\Sigma_{k=0}^\infty T(t)(\Sigma_{n=1}^\infty R(r)Z(z))$

Если $w(r,z,0)=-f(r,z)$ и $w(r,z,t)=X(r,z)T(t)$

$-\lambda_k=\frac{\Delta X}{X}=\frac{T'}{aT^2}$

$\chi_n=-\frac{\Delta_r R}{R}=\frac{Z''}{Z}+\lambda_k$

$T_k(0)=\frac{(w(r,z,0),X_n(r,z))}{||X_n(r,z)||^2}=\frac{(\frac{-I_0(\frac{3\pi r}{h})}{I_0(\frac{3\pi r_0}{h})},J _0(r\sqrt{\chi_n}))\delta_{3n}}{||R_n||^2||Z_n||^2}$

получилось ещё, что $\lambda_k=\chi_n+(\frac{\pi n}{h})^2$

$I_0(\frac{3\pi r}{h})=J_0(\frac{3\pi r i}{h})$ $\Rightarrow \chi_3=-\frac{9\pi^2}{h^2}$
$\Rightarrow \lambda_k=\lambda_0=0$

Собственное значение получается отрицательное.

[tav]

Всё получилось.Спасибо!Я не правильно применял интеграл Ломмеля.