Как доказать равенство рядов Тейлора?

[Gafield]

С какой точностью похожи?

[ewert]

и вообще, что надо -- доказать или установить? Если последнее, то надо просто поточечно сравнить значения этих функций. Если совпадают (в пределах машинной точности), то с очень большой вероятностью совпадают и сами функции.

[Nxx]

Я же сказал, что могу рассчитать только 3-ю и 4-ю производные.

[Brukvalub]

Nxx в сообщении #146627 писал(а):

Я же сказал, что могу рассчитать только 3-ю и 4-ю производные.

Тогда ничего сказать нельзя, да и пытаться ответить на вопрос бессмысленно.

[Nxx]

Цитата:

Тогда ничего сказать нельзя, да и пытаться ответить на вопрос бессмысленно.

Это еще почему? Вы хоть знаете, что производных бесконечное количество, и все их рассчитать невозможно в принципе?

[ИСН]

Nxx писал(а):

Вы хоть знаете, что производных бесконечное количество

катался по полу!

Nxx писал(а):

и все их рассчитать невозможно в принципе?

Да ну!?
Смотря что за функция. (Вы же не говорите, что там у Вас). А вот, например, $f(x)=\sin x$. Спорим, я Вам назову все её производные (да-да, всё их бесконечное количество) где угодно?

[Nxx]

Цитата:

Вы же не говорите, что там у Вас

Хорошо, давайте к конкретике, чтобы не тонуть в схоластике.

Нужно доказать, что решения уравнений

$ 1-f(-\log_{\sqrt{2}}(f(x)))=x $

$ g(-g(x)-1)=\log_{\sqrt{2}}(-x) $


совпадают или различаются.

Для первого уравнения я сделал замену $f(x)=(\sqrt{2})^{-s(x)}$
и получил $s(s(x))=\log_{\sqrt{2}}(1-x)$. Для второго сделал замену $u(x)=-g(x)-1$ и получил $u(u(x))=-\log_{\sqrt{2}}(-x)-1$.

Я получил ряд Тейлора для каждого из решений уравнения.

В общем виде оба выражения для коэффициентов существуют даже не в виде функций, а в виде операторов. Если подставить туда все нужные функции и произвести вычисления, для получения каждого последующего коэффициента в числовом виде, нужно производить каждый раз все более сложные вычисления.

[Brukvalub]

Nxx в сообщении #146693 писал(а):

Это еще почему? Вы хоть знаете, что производных бесконечное количество, и все их рассчитать невозможно в принципе?

Вот беда, ведь именно этого я и не учел! Век живи - век учись! Впредь мне придется быть осмотрительнее в своих поспешных заявлениях...
А я-то, наивный, думал, что математики пока открыли только три первых производных, а их, оказывается, "бесконечное количество, и все их рассчитать невозможно в принципе".

Nxx в сообщении #146698 писал(а):

Я получил ряд Тейлора для каждого из решений уравнения.

В общем виде оба выражения для коэффициентов существуют даже не в виде функций, а в виде операторов. Если подставить туда все нужные функции и произвести вычисления, для получения каждого последующего коэффициента в числовом виде, нужно производить каждый раз все более сложные вычисления.

Это говорит всего лишь о том, что для решения вашей задачи Вы выбрали негодный подход. Так ее ни в жисть не решишь.

[Nxx]

Цитата:

Это говорит всего лишь о том, что для решения вашей задачи Вы выбрали нгодный подход. Так ее ни в жисть не решишь.

Задача - доказать, а не сравнивать каждую последующую производную.

Грубо говоря, меня интересует система равенств меду коэффициентами, которой должны удовлетворять ряды, задающие одну и ту же функцию.

[zoo]

Nxx в сообщении #146698 писал(а):

Нужно доказать, что решения уравнений

$ 1-f(-\log_{\sqrt{2}}(f(x)))=x $

$ g(-g(x)-1)=\log_{\sqrt{2}}(-x) $


совпадают или различаются.

докажите сперва, что решения этих уравнений существуют и являются аналитическими функциями, а то может эти Ваши ряды Тейлора вообще с нулевым радиусом сходимости

[bot]

Nxx в сообщении #146698 писал(а):

Хорошо, давайте к конкретике, чтобы не тонуть в схоластике.

Возьмём функцию $f$, которая на всей своей области определения (о которой пока умолчим), тождественно равна 0, аналогично пусть $g$ тождественно равна 1. Из Ваших условий вытекает, что область определения функции $f$ состоит из единственной точки 1, а для $g$ - из точки $\sqrt 2.$
Не верю, что условие аналитичности может чем-либо помочь.

[Nxx]

bot писал(а):

Nxx в сообщении #146698 писал(а):

Хорошо, давайте к конкретике, чтобы не тонуть в схоластике.

Возьмём функцию $f$, которая на всей своей области определения (о которой пока умолчим), тождественно равна 0, аналогично пусть $g$ тождественно равна 1. Из Ваших условий вытекает, что область определения функции $f$ состоит из единственной точки 1, а для $g$ - из точки $\sqrt 2.$
Не верю, что условие аналитичности может чем-либо помочь.

А зачем брать функцию, которая заведомо уравнению не удовлетворяет?

[Brukvalub]

Nxx в сообщении #146707 писал(а):

Грубо говоря, меня интересует система равенств меду коэффициентами, которой должны удовлетворять ряды, задающие одну и ту же функцию.

Рассмотрим сходящийся на интервале

\[ ( - R\;;\;R)\]

степенной ряд

\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n x^n } \]

и точку

\[a \in ( - R\;;\;R)\]

. Тогда

\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n } x^n = \sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n } (a + (x - a))^n = \sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n } (\sum\limits_{r = 0}^n {\frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}a^{n - r} (x - a)^r } ) = \sum\limits_{r = 0}^\infty {(\sum\limits_{n = r}^\infty {c_n \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}a^{n - r} )(x - a)^r } } \]

Устраивает Вас такая зависимость?

[Nxx]

Brukvalub писал(а):

Nxx в сообщении #146707 писал(а):

Грубо говоря, меня интересует система равенств меду коэффициентами, которой должны удовлетворять ряды, задающие одну и ту же функцию.

Рассмотрим сходящийся на интервале

\[ ( - R\;;\;R)\]

степенной ряд

\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n x^n } \]

и точку

\[a \in ( - R\;;\;R)\]

. Тогда

\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n } x^n = \sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n } (a + (x - a))^n = \sum\limits_{n = 0}^\infty {c_n } (\sum\limits_{r = 0}^n {\frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}a^{n - r} (x - a)^r } ) = \sum\limits_{r = 0}^\infty {(\sum\limits_{n = r}^\infty {c_n \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}a^{n - r} )(x - a)^r } } \]

Устраивает Вас такая зависимость?

Что-то сложно очень, надо разбираться. В любом случае, спасибо.

[ИСН]

Что тут сложного? Что разбираться? Это напрямую записанное определение, вежливый эквивалент ответа "На, отвали".
Anyway, в нём фигурируют производные всех порядков, которые (как мы все теперь видим) в данном случае хрен выразишь.
Через ряды вообще не надо было идти.