О дифференциальных уравнениях в ч. п. первого порядка

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги ! Решал задачу № 946 из книжечки Филиппова по диф. ур-ям: требуется найти общее решение уравнения $y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=x-y$.
Первые интегралы находятся элементарно: $\varphi_1=x-y+z,$ $\varphi^2=x^2-y^2.$ Можно было бы и закончить формальным решением $\Phi(x-y+z, x^2-y^2)=0,$ где $\Phi$ -- произвольная достаточно гладкая функция, но я стал дальше анализировать его смысл. Если $\Phi,$ действительно, произвольная функция, то, в частности, $x^2-y^2=C$ для произвольного $C$ должно быть решением исходного уравнения. Однако, попытки "установить " это путём подстановки в исходное уравнение, в частности - выразить $\frac{\partial z}{\partial x}$ через $\frac{\partial z}{\partial y}$ за счёт условия $x^2-y^2=C$ и получить тождество в исходном уравнении, не привели к успеху. Анализируя эту ситуацию дальше и открыв учебники Эльсгольца и Степанова, я выяснил для себя, что общее решение подобных уравнений всегда ищется в предположении $\Phi_z\ne 0.$ Выходит, что нас обманывают, утверждая, что $\Phi(\varphi_1, \varphi_2)=0$ есть общее решение соответствующего уравнения при произвольной функции $\Phi,$ а нужно ещё накладывать дополнительное требование $\Phi_z\ne 0$ ? Буду рад узнать Ваше мнение !

[Padawan]

Evgenii2012 в сообщении #1466113 писал(а):

$x^2-y^2=C$

Выразите отсюда $z$ (шутка)

Evgenii2012 в сообщении #1466113 писал(а):

Выходит, что нас обманывают, утверждая, что $\Phi(\varphi_1, \varphi_2)=0$ есть общее решение соответствующего уравнения при произвольной функции $\Phi,$ а нужно ещё накладывать дополнительное требование $\Phi_z\ne 0$ ?

Да, иначе $z$ не выразить. Обманывают. Потому что на каждый чих не наздравствуешься.
P.S. Хотя я уверен, что исходное уравнение можно переписать так, что $x^2+y^2=C$ ему будет удовлетворять. Это как бы обобщенное решение.

[Evgenii2012]

Padawan , большое спасибо за Ваше мнение. Но я, как бы, именно по поводу последнего: почему это будет (хотя бы) обобщённым решением (как интерпретировать ?).

[Padawan]

Это надо подумать. Надеюсь, другие участники подскажут. Пока только пришло на ум записать рядом $dz=z_x'dx+z_y'dy$ и что-то исключить. А вообще, надо внимательно посмотреть на док-во того, что $\Phi(\varphi_1,\varphi_2)=0$ является решением.

[B@R5uk]

Evgenii2012 в сообщении #1466113 писал(а):

а нужно ещё накладывать дополнительное требование $\Phi_z\ne 0$

У функции $\Phi\left(u,\;v\right)$ всего два аргумента. Какой из них вы приняли за z? Первый или второй?

[Evgenii2012]

Никакой. Функции $u$ и $v$ сами могут зависеть от $z,$ так как $u=u(x, y, z)$ и
$v=v(x, y ,z)$ -- первые интегралы соответствующей нелинейной системы, то есть, $z$ неявно содержится в функции $\Phi.$ Понятно, что для одной функции $\Phi$ у Вас будет выполняться условие $\Phi_z\ne 0,$ а для другой уже может не выполняться. Поэтому мой вопрос остаётся открытым, см. текст выше

[B@R5uk]

Evgenii2012 в сообщении #1466113 писал(а):

Если $\Phi,$ действительно, произвольная функция, то, в частности, $x^2-y^2=C$ для произвольного $C$ должно быть решением исходного уравнения.

Нет. Вы приравниваете один из первых интегралов константе и говорите, что это решение. Это не верно. Куда делись все остальные интегралы?

-- 31.05.2020, 16:50 --

Evgenii2012 в сообщении #1466161 писал(а):

будет выполняться условие $\Phi_z\ne 0,$

Нет такого условия. Как вы сами сказали у функции нет аргумента z. Поэтому у неё нет частной производной по несуществующему аргументу. Или, если хотите, он тождественно равен нулю.

[Evgenii2012]

Поясните, почему нет. Итак, пусть $\Phi(u, v)=v-5.$ Тогда имеем: $x^2-y^2-5=0$ -- одно из возможных решений нашего исходного уравнения в частных производных. Где я ошибся ?

[B@R5uk]

Вообще, так как у вас всего два первых интеграла, почему бы не записать решение в следующем виде?

$$z=-x+y+f\left(x^2-y^2\right)$$

Недостаток, конечно, в том, что f может быть многозначной.

-- 31.05.2020, 16:56 --

Evgenii2012 в сообщении #1466164 писал(а):

Где я ошибся ?

Потерялась зависимая функция.

-- 31.05.2020, 16:59 --

Evgenii2012 в сообщении #1466164 писал(а):

Тогда имеем: $x^2-y^2-5=0$

Вы понимаете, что этим равенством наложили ограничение на независимые аргументы искомой функции? Они не спроста независимые: на них нет ограничений, кроме, возможно, заданной в условии области определения искомой функции.

[Evgenii2012]

B@R5uk, я пытаюсь разобраться не в форме записи решения, а в том, как получена та форма. Итак, если открыть книгу Эльсгольца и посмотреть соотношение (5.16) на стр. 251, то мы видим, что решение произвольного уравнения в частных производных ищется в виде $u=u(x_1, x_2,\ldots, x_n, z)=0,$ при этом делается предположение $u_{z}\ne 0.$ Несколько позднее, а именно в конце стр. 252 этой же книги присутствует запись общего решения $u=\Phi(\psi_1, \psi_2\,\ldots, \psi_n),$ где $\psi_i$ -- первые интегралы соответствующей нелинейной системы. Возникает вопрос: что делать с условием $u_{z}\ne 0$ ? Понятно, что я имею право взять в качестве $\Phi=\psi_n$ -- а почему нет ??? Тогда уже другой вопрос: если $\psi_n$ не зависит от $z$ (как это в случае нашей задачи, которую мы рассматриваем), то как это соотносится с условием $u_{z}\ne 0$ ? Помогите мне, пожалуйста, понять это явление и все вопросы будут сняты. Заранее благодарен !

-- 31.05.2020, 16:08 --

К сожалению, предыдущими Вашими сообщениями, вроде того, что "куда делось $z$" и проч., я пока не могу удовлетвориться. Поясните, пожалуйста, поподробнее

[B@R5uk]

Evgenii2012 в сообщении #1466166 писал(а):

то как это соотносится с условием $u_{z}\ne 0$ ?

Распишите подробно, чему равна эта частная производная.

[Evgenii2012]

К чему ? Мне не ясна цель

-- 31.05.2020, 16:30 --

Дорогие коллеги, я благодарен Вам за Ваше мнение, но к сожалению, пока что мои вопросы не прояснились. Хотелось бы понять логику построения общего решения. К сожалению, в моих рассуждениях нет указания на то, что я где-то ошибаюсь: из того, что уже написано, это никак не следует. Также не ясно, как проверить, что зависимость $x^2-y^2-5=0$ индуцирует решение данное решение в каком-либо смысле. Вопрос с $u_z\ne 0$ тоже открыт, так как могут быть в общем решении функции $u=\Phi(\psi_1, \psi_2,\ldots, \psi_n)$ с нарушением этого условия. Хотел бы напомнить, что подстановка $z=z(x, y(x)),$ где $y$ связано с $x$ соотношением $x^2-y^2-C=0$ также ни к чему не привела, хотя, возможно, где-то была ошибка

[пианист]

Evgenii2012 в сообщении #1466113 писал(а):

$x^2-y^2=C$ для произвольного $C$ должно быть решением исходного уравнения

Сделайте замену в диффуре, чтобы $z$ стала независимой переменной, и будет Вам щастье.

[B@R5uk]

Evgenii2012, я вам наметил прямой путь к пониманию. Вместо спасибо вы поставили под сомнение его целесообразность. Ну, не нравится прямой путь — ищите окольный. Каждый математический факт всё равно один на всех, за что математику и любим.

[Evgenii2012]

B@R5uk, никакого пути к пониманию, к сожалению, в Ваших ответах не содержится