Пример разрыва производной функции (Фихтенгольц)

[eugenepriymak]

Доброго времени суток, коллеги!

Во время чтения трёхтомника Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" (т. 1, гл. 3, параграф 1, п. 102) возникло недопонимание полученных автором результатов для производной в нуле. Для удобства приведу текст автора.

Собственно, сам вопрос. Сначала вычисляется производная по определению: существует $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = 0$. Далее автор утверждает, что $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ не существует. Я так понимаю, здесь опечатка, ибо этот предел равен нулю, и на самом деле этот предел подразумевается брать от $f'(x) = 2x \cdot \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$ для точек $x \neq 0$, который действительно не существует. Но, вычислив данный предел и увидев, что он не существует, корректно ли по получившемуся результату судить о производной функции $f(x)$ в точке $x = 0$ и говорить, что в ней производная разрывна?

Я так понимаю, что нет, потому что возьмем, к примеру, функцию, заданную так: $f(x) = x^2$, если $x \neq 3$; $f(x) = 0$, если $x = 3$. В этом случае, если вычислять односторонние производные в точке $x = 3$ по определению, $f'(3 - 0) = -\infty$, $f'(3 + 0) = +\infty$, производная функции в точке $x = 3$ не существует. Однако если действовать аналогично предыдущему, то, вычислив $\lim\limits_{x \to 3}f'(x) = \lim\limits_{x \to 3} 2x$, получим $6$, но на основе этого результата неверно утверждать, что производная в точке $x=3$ равна $6$, потому что в этой точке она не существует.

[mihaild]

eugenepriymak в сообщении #1465321 писал(а):

Но, вычислив данный предел и увидев, что он не существует, корректно ли по получившемуся результату судить о производной функции $f(x)$ в точке $x = 0$ и говорить, что в ней производная разрывна?

Мы же не только это делаем. Мы обнаруживаем, что производная в точке $0$ существует (не считая предел производной, а непосредственно по определению), так что функция $f'$ определена в окрестности $0$. Но при этом не является в ней непрерывной (т.к. в нуле у неё вообще нет предела).

[Someone]

eugenepriymak в сообщении #1465321 писал(а):

Но, вычислив данный предел и увидев, что он не существует, корректно ли по получившемуся результату судить о производной функции $f(x)$ в точке $x = 0$

Некорректно, но Фихтенгольц этого и не делает. Производную в нуле он вычисляет отдельно. А Вы, пересказывая текст Фихтенгольца, его переврали:

eugenepriymak в сообщении #1465321 писал(а):

Сначала вычисляется производная по определению: существует $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = 0$.

Там не "сначала вычисляется производная по определению", а вычисляется производная конкретно в нуле. Как раз по определению. Именно потому, что вычисление производной в нуле по общей формуле невозможно.

eugenepriymak в сообщении #1465321 писал(а):

Далее автор утверждает, что $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ не существует. Я так понимаю, здесь опечатка, ибо этот предел равен нулю, и на самом деле этот предел подразумевается брать от $f'(x) = 2x \cdot \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$ для точек $x \neq 0$, который действительно не существует.

Опечатка в фразе "Вместе с тем ясно, что $f(x)$…" действительно есть, поскольку речь идёт, разумеется, о пределе $f'(x)$.

[eugenepriymak]

Коллеги, премного благодарен, вы пролили мне свет на этот вопрос!
Правильно ли я тогда понимаю, что односторонняя производная некоторой функции $f(x)$ в точке $t$, скажем, слева, которая определяется как $\lim\limits_{\Delta x \to - 0} \frac{f(t + \Delta x) - f(t)}{\Delta x}$, это в общем случае не то же самое, что $\lim\limits_{x \to t - 0} f'(x)$, то есть результаты этих выражений не всегда совпадают? Проблема в том, что до сего момента я не осознавал тонкую разницу между ними; поэтому казалось, что в выкладках автора получается противоречие. Впрочем, получается, что Фихтенгольц этим примером продемонстрировал еще и то, что эти вещи - не одно и то же.

[mihaild]

eugenepriymak в сообщении #1465338 писал(а):

то есть результаты этих выражений не всегда совпадают?

Да - предел производной может не существовать (да и сама производная не обязана быть определена во всей проколотой окрестности, и даже хоть где-то, кроме точки). Вот если у производной предел существует, то он равен значению производной в точке (теорема Дарбу).