2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Декартово произведение
Сообщение20.05.2020, 14:27 


20/05/20
3
Здравствуйте! Я купил книгу В. А. Зорича "Математический анализ". У меня возникли некоторые вопросы по декартовому произведению.

Задание: проиллюстрируйте геометрически декартово произведение.
1. Двух отрезков
Я наглядно это изобразил.
Например у нас есть 2 отрезка OA и OB. Оба они являются некими множествами.
То есть например отрезок OA содержит элементы 0, 1, 2, 3, 4, 5, и так далее до какого-то конца, и отрезок OA так же состоит из 0, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до какого-то конца.

Получается если брать пары этих множеств, то есть (0, 0), (0, 1), (0, 2) ... закончили с нулем
(1, 0), (1, 1), (1, 2) ... закончили с единицей
и так со всеми числами

то в итоге у нас получится вот такое множество точек, которое будет представлять из себя прямоугольник
Изображение

а если бы отрезки были бы равны между собой, то получился бы квадрат!

2. Двух прямых
Это та же история что с отрезками, только дело в том, что эти прямые бесконечны по своей длине, значит получается бесконечно большой квадрат или прямоугольник, я не знаю.

Вот как он будет выглядеть
Изображение

3. Прямой и окружности (получится цилиндрическая поверхность)
4. Прямой и круга (получится цилиндр)
5. Двух окружностей (получится тор)
6. Окружности и круга (получится полноторие)

Вот с пунктами 3-6 я никак не могу разобраться. Как их проиллюстрировать или визуализировать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение20.05.2020, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bone_appettit в сообщении #1464120 писал(а):
3. Прямой и окружности (получится цилиндрическая поверхность)
4. Прямой и круга (получится цилиндр)
5. Двух окружностей (получится тор)
6. Окружности и круга (получится полноторие)

Вот с пунктами 3-6 я никак не могу разобраться. Как их проиллюстрировать или визуализировать?
4 и 3. Вы учились в школе и никогда не видели кругового цилиндра и цилиндрической поверхности?
6 и 5. Вы не видели баранки и надувного плавательного круга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение20.05.2020, 14:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Что, даже п. 3 не поддается усилиям?

Как-то в беседе со студентами выяснил, что некоторые из них никогда в жизни не видели параллелепипеда общего вида (такого совсем косоугольного, не прямоугольного). Честно говоря, затруднился привести им соответствующий распространенный бытовой пример (всякие дизайнерские штучки не в счет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение20.05.2020, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8336
Цюрих

(Оффтоп)

Тут ИМХО надо помнить, что это не просто декартово произведение множеств, а еще какие-то структуры на этом произведении, получающиеся из структур на сомножителях. Чисто как множества прямую от окружности отличить сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение20.05.2020, 15:06 


20/05/20
3
nnosipov в сообщении #1464130 писал(а):
Что, даже п. 3 не поддается усилиям?

Someone в сообщении #1464126 писал(а):
4 и 3. Вы учились в школе и никогда не видели кругового цилиндра и цилиндрической поверхности?
6 и 5. Вы не видели баранки и надувного плавательного круга?


Да нет, не в этом дело. Я знаю что такое цилиндр и тор. Я не понимаю как эти фигуры получаются из декартова произведения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение20.05.2020, 15:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
bone_appettit в сообщении #1464141 писал(а):
Я не понимаю как эти фигуры получаются из декартова произведения...
Да чего тут понимать: из каждой точки окружности выпускаем прямую перпендикулярно плоскости окружности. Вот и цилиндр. Ничего более хитрого в таких заданиях нет. Просто удобная картинка, чтобы представить себе визуально это декартово произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение20.05.2020, 17:02 


20/05/20
3
nnosipov в сообщении #1464145 писал(а):
bone_appettit в сообщении #1464141 писал(а):
Я не понимаю как эти фигуры получаются из декартова произведения...
Да чего тут понимать: из каждой точки окружности выпускаем прямую перпендикулярно плоскости окружности. Вот и цилиндр. Ничего более хитрого в таких заданиях нет. Просто удобная картинка, чтобы представить себе визуально это декартово произведение.


Большое спасибо. А не могли бы объяснить оставшиеся пункты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение21.05.2020, 08:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
nnosipov в сообщении #1464130 писал(а):
Как-то в беседе со студентами выяснил, что некоторые из них никогда в жизни не видели параллелепипеда общего вида (такого совсем косоугольного, не прямоугольного). Честно говоря, затруднился привести им соответствующий распространенный бытовой пример (всякие дизайнерские штучки не в счет).


Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение21.05.2020, 08:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Евгений Машеров
Спасибо, красивая картинка. Но здесь все-таки есть прямые углы. Такие примеры мы находили (типа картонной коробки без дна, которая "складывается"). Хотелось, чтоб совсем без прямых углов.
bone_appettit в сообщении #1464169 писал(а):
А не могли бы объяснить оставшиеся пункты?
Нет, это уже будет перебор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение21.05.2020, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
Цитата:
5. Двух окружностей (получится тор)

Странно это.
Во-первых, нет симметрии.
Во-вторых, при фиксировании одной компоненты не получается вторая.
Или всего этого и не требуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение21.05.2020, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
TOTAL в сообщении #1464307 писал(а):
Во-первых, нет симметрии.
Вы имеете в виду симметрию между окружностями? У тора есть такая симметрия: если его вывернуть наизнанку, чтобы внутренняя область оказалась снаружи, а внешняя — внутри, то окружности меняются местами.

TOTAL в сообщении #1464307 писал(а):
Во-вторых, при фиксировании одной компоненты не получается вторая.
Это непонятно. Что Вы называете "фиксированием одной компоненты", если Вым неизвестно, является ли обсуждаемый объект произведением? И как при этом должна "получаться" вторая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение21.05.2020, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
Someone в сообщении #1464416 писал(а):
Что Вы называете "фиксированием одной компоненты", если Вым неизвестно, является ли обсуждаемый объект произведением? И как при этом должна "получаться" вторая?

Допустим, бублик тоненький (дырка очень большая). На маленькой окружности зафиксируем точку и умножим её Декартово на большую окружность. Получатся неодинаковые окружности, их размер зависит от выбранной точки. В предыдущих примерах таких "проблем" не было. Или это так и можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение21.05.2020, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
TOTAL в сообщении #1464420 писал(а):
Получатся неодинаковые окружности, их размер зависит от выбранной точки.
Мало ли какую метрику можно задать на произведении двух метрических пространств, и мало ли куда и как его можно вложить. В данном случае произведение рассматривается как топологическое понятие, а вложение в $\mathbb R^3$ нужно только для наглядности.

bone_appettit в сообщении #1464169 писал(а):
А не могли бы объяснить оставшиеся пункты?
Выкладывание готовых решений простых учебных задач запрещено правилами форума. Вплоть до полной блокировки злостного нарушителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение22.05.2020, 20:32 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Someone в сообщении #1464430 писал(а):
В данном случае произведение рассматривается как топологическое понятие

Сомневаюсь. Это же первая глава. Чисто как множество. Согласен с TOTAL, дурацкая "задача". Болтология.

 Профиль  
                  
 
 Re: Декартово произведение
Сообщение22.05.2020, 21:21 


15/04/20
201
Советую посмотреть лекции по математическому анализу, читаемые на мехмате МГУ, лектор - Шапошников С.В. , найти эти лекции вы можете на ютуб-канале teach-in, лекции читаются очень близко к Зоричу, и эти примеры как раз есть там есть(где-то во 2-й или 3-й лекции за 1 семестр,посмотрите)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group