Правильное определение нормы оператора

[g______d]

ewert в сообщении #1460277 писал(а):

Не возьму -- это не имеет отношения к понятию нормы.

Странное утверждение. Имеет, конечно, -- мы замыкаем полиномы от оператора именно по операторной норме.

Я добавил абзац, но уже после Вашего ответа:

g______d в сообщении #1460276 писал(а):

Можно избежать разговоров про алгебры, переформулировав вопрос в терминах проекторов, являющихся непрерывными функциями от данного оператора.

Если хотите, я могу сформулировать его более точно, но думаю, что Вы понимаете, что именно я имею в виду.

-- Пн, 04 май 2020 23:44:20 --

ewert в сообщении #1460277 писал(а):

дескать, это максимально возможное связное открытое подмножество

Это просто неверно (если у них именно так написано). Пример: $\mathbb Q$.

upd: а, понял -- у них изначально это только для открытых подмножеств евклидова пространства. Тогда это формально верно, но потенциально ведёт к ошибкам вида "компоненты связности топологического пространства -- это минимальные по включению открыто-замкнутые непустые подмножества". Вроде даже есть какая-то известная книжка, в которой это так и формулируется.

[ewert]

g______d в сообщении #1460278 писал(а):

Это просто неверно (если у них именно так написано). Пример: $\mathbb Q$.

У них так не буквально, я просто сократил. Буквально же так:

"Открытое подмножество $H$ открытого множества $G$ называется компонентой множества $G$, если оно связано и не содержится ни в каком большем связном открытом подмножестве $G$."

("связано" -- это, конечно, очипятка)
Формулировка сильно расплывчата, но в этом-то их винить как раз нельзя. Им просто недосуг было приводить развёрнутое определение -- ведь для них это вопрос очень частный. Бритва Оккама, знаете ли -- не следует плодить сущностей сверх необходимости. Просто не надо было вообще давать именно это определение, поскольку оно повисает в воздухе.

[g______d]

ewert

Да, я для проверки открыл и увидел -- добавил замечание.

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1460278 писал(а):

Тогда это формально верно, но потенциально ведёт к ошибкам вида "компоненты связности топологического пространства -- это минимальные по включению открыто-замкнутые непустые подмножества".

Слушайте, я в этом не разбираюсь и, соответственно, у меня таких ошибок не будет -- я, скорее всего, на это никогда уже не выйду. И я далеко не уникален.

(Оффтоп)

Если уж ловить блох у Колмогорова-Фомина.

Не относится к числу блох безапелляционное заявление "Число их не более чем счётно" (в многомерном дополнении). Поскольку это очевидным образом верно по тем же причинам, что и в одномерном случае, а там они это обосновали более-менее честно.

Почему более-менее. Потому что там они задействовали полную аксиому выбора, причём без необходимости. Надо было бы сделать хотя бы оговорку типа "возможен и конструктивный выбор этих рациональных точек". Впрочем, краткости ради и так сойдёт.

А вот где у них (в одномерной теореме) действительно глюк. Они, как положено, факторизуют открытое множество по соотв. отношению эквивалентности, разбивая его на непересекающиеся классы $I_{\tau}$. Затем вводят $a=\inf I_{\tau}$, $b=\sup I_{\tau}$ -- всё нормально. Потом бац! -- "очевидно, что $I_{\tau}\subset(a;b)$".

Ну это совершенно не очевидно. Очевидно (и действительно нужно) лишь то, что $I_{\tau}\subset[a;b]$.

Далее они вполне честно (хоть и не лучшим образом -- избыточные пируэты) доказывают, что $(a;b)\subset I_{\tau}$. После чего остаются четыре варианта: $I_{\tau}$ -- это $[a;b]$, $[a;b)$, $(a;b]$ или $(a;b)$. И выбор между ними у них фактически не обоснован.

А вот если бы они открытым текстом сказали, что класс эквивалентности обязательно открыт, то вопрос автоматически снялся бы.


Да, и насчёт ихнего определения компоненты. Они там по рассеянности неправильно расставили слова. Вместо

"Открытое подмножество $H$ открытого множества $G$ называется компонентой множества $G$, если оно связано и не содержится ни в каком большем связном открытом подмножестве $G$."

следовало написать

"Подмножество $H$ открытого множества $G$ называется компонентой множества $G$, если оно открыто, связно и не содержится ни в каком большем связном открытом подмножестве $G$."

[provincialka]

Ух ты! Как всё развернулось-то! Немного не по теме (нормы оператора), но зато интересно.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1460320 писал(а):

Немного не по теме (нормы оператора)

но ведь ровно Вы же и спровоцировали (шутю)

А, нет, каюсь. Первым провокатором выступил ув. arseniiv. Но Вы его достойно поддержали. Я же, скажем, был уже на подхвате.

[starper]

Быть может, чтобы зря не плодить темы, сразу задам тут вопрос: как найти норму оператора $L: R^n \to R^n$? Выписывал в лоб отношение $\ \frac{\parallel A(x)\parallel}{\parallel x\parallel}, но там получается громоздкая сумма отношений квадратичных функций, а я не знаю, как такое максимизировать, да и задача вроде бы не предполагает знакомства с такими инструментами. Или без этого никак? Направьте, пожалуйста.

[ewert]

Для разных операторов по-разному. Но если норма евклидова (как вроде подразумевается), то операторная норма равна максимальному из сингулярных чисел. Как его искать в каждом конкретном случае -- вопрос опять же индивидуальный, универсальных рецептов нет.

(ну если не считать тупого "загони в железяку")

[starper]

ewert, максимальное сингулярное число в данном случае - это то же самое, что и максимальное собственное число матрицы $AA^T$?

[ewert]

Почти. Корень из него. Ну и стандартно сомножители принято ставить наоборот; впрочем, на результат это не влияет.

[starper]

ewert, а чтобы доказать, что норма оператора равна максимальному из сингулярных чисел, нужно что-то продвинутое из линала знать?

[ewert]

Нет, почти ничего не нужно. Кроме того фундаментального факта, что симметричный оператор допускает разложение по своим собственным векторам (а то самое произведение есть оператор именно симметричный).

Вот это -- знать практически необходимо. А больше -- почти ничего.

-- Вт май 05, 2020 16:36:18 --

Да, нюанс. Для того, чтобы свести к симметричным, нужно задействовать собственные числа именно $A^TA$, а не наоборот. И есть теорема, что собственные числа от перестановки этих сомножителей не изменятся. Но она уже существенно сложнее, чем разложение симметричного оператора по собственным векторам.

[provincialka]

ewert в сообщении #1460335 писал(а):

но ведь ровно Вы же и спровоцировали (шутю)

Я-то думала о том, что определение неудачное в методическом смысле (ломаные тут ни при чем), ну, и отсутствие эпитета "линейная" напрягало. Но критиковать классика! В голову не пришло... Вот ведь, даже в математику вмешивается психология )

[ewert]

provincialka в сообщении #1460397 писал(а):

Я-то думала о том, что определение неудачное в методическом смысле (ломаные тут ни при чем)

Нет, очень даже при чём. Для открытых множеств что ломаные, что пути -- одно и то же. Однако путь -- понятие сравнительно сложное, ломаная же всем интуитивно очевидна (на то, что формально и её следует определять, можно забить). Соответственно, согласно Оккаму лучше ломаные. Про неуместность "линейности" в данном конкретном случае я уже говорил.

-- Вт май 05, 2020 18:46:28 --

provincialka в сообщении #1460397 писал(а):

Но критиковать классика! В голову не пришло...

А почему бы, кстати, и не покритиковать? Это ведь не оскорбление. А идеальных текстов в любом случае не бывает. Даже у классиков.

[starper]

ewert, благодарю за помощь! Но пока оставлю эту задачу, так как почитав про симметричные операторы и их разложение, обнаружил что многого нужного для ее решения еще не знаю.