Правильное определение нормы оператора

[ewert]

Насчёт колец с модулями -- там немного другая история. Там построение определения при помощи объединения двух самодостаточных групп аксиом гораздо важнее, чем непустота пересечения этих групп.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Что интересно, про модуль я то же самое написал в середине предыдущей страницы.

[ewert]

(Оффтоп)

Так а я типа чукча. Я не читатель, я писатель.

[starper]

ewert в сообщении #1460096 писал(а):

Первый -- хуже всего: при чём тут шар-то?

Вот да, если коммутативность и неотрицательность определениях векторного пространства, метрики и нормы помогают понять, как устроен объект, то это определение наоборот затуманивает понимание. С таким же успехом можно было бы определить норму и так: $\left\lVert L \right\rVert = sup_{\parallel x\parallel<1} \parallel L(x)\parallel$, тоже эквивалентно, но только запутывает.

[provincialka]

Насчет неудобных определений. Я читала в одной статейке (для учителей) утверждение, что сфера не является связным множеством (в обычной топологии $\mathbb R^3$). Потому что в Колмогорове-Фомине написано,

Цитата:

«Открытое множество $G$ в $n$-мерном евклидовом пространстве называется связным, если любые две точки $x, y \in G$ могут быть соединены ломаной, целиком лежащей в $G$».

А на сфере ломаная не помещается! Слово "открытый" было благополучно пропущено.

(Оффтоп)

ну, там автор была несколько своеобразная. Она считала, что "открытым называется множество, содержащее все свои внутренние точки"

[starper]

provincialka
Наткнулся на мнение соавтора известного учебника по функану В. Богачева, что в учебнике Колмогорова Фомина много огрехов (несмотря на это отзыв об учебнике в целом положительный).
Но насчет связности, пример со сферой вроде бы не опровергает определения, сфера в $R^3$ в стандартной топологии - не открытое множество же.

provincialka в сообщении #1460219 писал(а):

ну, там автор была несколько своеобразная. Она считала, что "открытым называется множество, содержащее все свои внутренние точки

Замкнутое ведь тоже может содержать, может быть, просто имелось в виду, что открытое множество содержит все свои внутренние точки?

[Someone]

starper в сообщении #1460241 писал(а):

может быть, просто имелось в виду, что открытое множество содержит все свои внутренние точки?

Любое множество содержит все свои внутренние точки. Согласно определению внутренней точки.
А открытое множество отличается от прочих как раз тем, что не внутренних точек оно не содержит. Согласно определению открытого множества.

[provincialka]

starper в сообщении #1460241 писал(а):

сфера в $R^3$ в стандартной топологии - не открытое множество же.

Ну а я о чем? Я же не говорю, что определение Колмогорова неправильное! Но оно может породить в неокрепших умах неправильное впечатление! Дело же не в ломаных!
Наверное к этому моменту изложения просто ещё не были введены непрерывные кривые.

[g______d]

provincialka в сообщении #1460250 писал(а):

Наверное к этому моменту изложения просто ещё не были введены непрерывные кривые.

Даже если ввести, всё равно придётся добавить слово "линейно".

[provincialka]

g______d
Да. Ну, все-таки книга не по топологии, и это определение введено где-то мелким шрифтом... В общем, история мутная...

[ewert]

Не то что не были введены, а просто были не нужны -- достаточно было ломаных. Там ведь пафос был не столько в связности как таковой, сколько в понятии компонент связности. Соответственно, их интересовали именно открытые множества и только они.

Точнее так. Весь этот пункт посвящён вовсе не связности, а структуре открытого множества. Перед этим в основном тексте была теорема о структуре открытого множества на прямой, здесь же она обобщалась на многомерный случай. Понятие связности при этом -- лишь технический инструмент, вводимый мимоходом. Вполне естественно, что они постарались сделать это как можно лаконичнее.

Зато с удивлением (давно не заглядывал в книжку) заметил, что они объединение множеств предпочитают называть суммой. Это они напрасно. В теории вероятностей это уместно, а так нет. Поскольку под суммой множеств можно понимать и другую, вполне содержательную вещь.

g______d в сообщении #1460251 писал(а):

Даже если ввести, всё равно придётся добавить слово "линейно".

Нельзя. Если никакой связности, кроме линейной, не вводится, то добавление этого словечка будет лишь пудрить мозги (хотя бы потому, что будет зловредно ассоциироваться с линейной структурой).

[g______d]

ewert в сообщении #1460253 писал(а):

Нельзя. Если никакой связности, кроме линейной, не вводится, то добавление этого словечка будет лишь пудрить мозги (хотя бы потому, что будет зловредно ассоциироваться с линейной структурой).

Тяжелый выбор: формально неверные утверждения (поскольку определение связности всё-таки общепринятое), или запудривание мозгов. Оба хуже (с).

[ewert]

g______d в сообщении #1460271 писал(а):

(поскольку определение связности всё-таки общепринятое)

Нет. В анализе (а тут хоть и функциональный, но всё-таки анализ) связность бывает только линейная. Общая топология -- вещь крайне периферийная для массового потребителя.

Ну а кто до неё всё же доберётся -- как-нибудь уж разберётся, что к чему.

Вот Вы, например, знаете, что такое компактность?.. (подсказка: она бывает только секвенциальной; естественно, без упоминания этого слова)

[g______d]

ewert в сообщении #1460273 писал(а):

В анализе (а тут хоть и функциональный, но всё-таки анализ) связность бывает только линейная.

Я недостаточно хорошо знаю анализ, чтобы делать такие сильные утверждения.

И в этой теме соответствующее обсуждение будет выглядеть особенно забавно.

Но: возьмите ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Рассмотрите $C^*$-подалгебру алгебры $B(H)$, порождённую этим оператором (и единичным оператором, на всякий случай). Как устроены ортогональные проекторы в этой подалгебре?

Можно избежать разговоров про алгебры, переформулировав вопрос в терминах проекторов, являющихся непрерывными функциями от данного оператора.

[ewert]

g______d в сообщении #1460276 писал(а):

Но: возьмите ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Рассмотрите $C^*$-подалгебру алгебры $B(H)$, порождённую этим оператором

Даже не просите, не возьму -- это не имеет отношения к понятию операторной нормы.

Я всё же добавлю. В чём вред от "общепринятых" определений?

То же самое дополнение от Колмогорова-Фомина. У них изначальное определение компоненты связности (в тексте просто компоненты) невнятно -- дескать, это максимально возможное связное открытое подмножество (видимо, они бездумно перетащили его из какого-нибудь курса общей топологии). Как результат: после разбиения открытого множества на классы эквивалентности они абсолютно голословно утверждают, что каждый класс -- это компонента. Из исходного определения компоненты непосредственно это никак не вытекает.

А надо было и всего-то объявить компонентой класс эквивалентности. После чего доказать, что каждый класс открыт. Можно было бы даже не доказывать -- достаточно слов типа "легко доказать, что". Но вот зафиксировать этот факт нужно было обязательно, он принципиален.

"Не нравится? Да, вы правы --
Привычка к Лориган и к розам..."
(с)