Разложение чисел в сумму трех квадратов натуральных чисел

[glafira krinner]

Здравствуйте. Помогите установить справедливость доказательства следующего утверждения.
Пусть для натуральных переменных $A = x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2$, где $x>a>b>y>c>z$. (1)
Например, $117=10^2+4^2+1^2=8^2+7^2+2^2.$
Тогда $a+b>x+y.$
Доказательство. Пусть $a=x-m, b=y+n,$ где $m<x, n<x-y.$ (2)
Если ограничения (2) не будут выполняться, то $a\leqslant 0, b\geqslant x$ и условие (1) не будет выполняться.
Далее, исходное равенство равносильно неравенству $x^2+y^2>a^2+b^2,$ так как по условию $c>z.$
$x^2+y^2>(x-m)^2+(y+n)^2$;
$n^2+2yn+m^2-2xm<0$.
Решаем данное неравенство относительно $n$: $n<\sqrt{y^2+2xm-m^2}-y.$
Далее, чтобы исходное утверждение выполнялось, надо потребовать, чтобы $n>m.$ Действительно, тогда $a+b=(x-m)+(y+n)=(x+y)+(n-m)>x+y,$ или
Приходим к двойному неравенству $m<n<\sqrt{y^2+2xm-m^2}-y$ или $m<\sqrt{y^2+2xm-m^2}-y,$ или $m+y<\sqrt{y^2+2xm-m^2}.$ (3)
ОДЗ: $y^2+2xm-m^2\geqslant 0; m^2-2xm-y^2<0; m<x+\sqrt{x^2+y^2},$ что удовлетворяет ограничению (2) $m<x.$
Решаем неравенство (3): после возведения обеих частей неравенства в квадрат приходим к неравенству $m^2-(x-y)m<0,$ которое имеет решение $m<x-y,$ которое удовлетворяет ограничению (2) $m<x.$
Вывод: $n>m$ при всех допустимых значениях $m, n.$ Значит, $a+b>x+y.$

[grizzly]

glafira krinner в сообщении #1459734 писал(а):

Вывод: $n>m$ при всех допустимых значениях $m, n.$

Не буду пока вдаваться в относительно мелкие шероховатости и проверять сами выкладки. Но совершенно непонятно, как из написанного выше можно сделать такой вывод. Поищем проблемное место.

glafira krinner в сообщении #1459734 писал(а):

Приходим к двойному неравенству $m<n<\sqrt{y^2+2xm-m^2}-y$

Здесь Вы, похоже, говорите, что для доказательства исходного утверждения достаточно доказать первую часть этого двойного неравенства. Ок. Но вот сразу после Вы, судя по всему, утверждаете, что поэтому достаточно доказать, что

glafira krinner в сообщении #1459734 писал(а):

или $m<\sqrt{y^2+2xm-m^2}-y,$

А это совсем не Ок.

[glafira krinner]

Извините за молчание. Мне надо немножко подумать.

[glafira krinner]

Да, я согласна с Вами. Допущен ляп. И вторая ошибка: надо, конечно же, учитывать исходное равенство. Переход от него к неравенству неравносилен. Будем думать. Спасибо Вам за замечание.

[mihiv]

В доказательстве нужно как-то использовать "натуральность" чисел, потому что для действительных чисел, мне кажется, можно найти контрпример.

[nnosipov]

mihiv в сообщении #1460281 писал(а):

потому что для действительных чисел, мне кажется, можно найти контрпример

Мне не очевидно отсутствие контрпримера и для натуральных чисел.

[glafira krinner]

Очевидно пока одно: надо применять комбинацию методов. Натуральность чисел - это общая головная боль. Спасибо.

[ИСН]

Да не надо никакую комбинацию.

$$ 1694=\left\{\begin{array}{llcllll} 37^2 & &+& & 18^2 & + &1^2 \\ \cline{1-1} & 27^2 &+& 26^2 & + & 17^2 & \\ \end{array}\right. $$

но $37+18 > 27+26$

[waxtep]

Или еще контрпример: $9^2+4^2+1^2=8^2+5^2+3^2,9+4=8+5$

-- 08.05.2020, 03:05 --

Ну и в целом $(s+2t+3)^2+s^2+t^2=(s+2t+2)^2+(s+1)^2+(t+2)^2$ как одна из "контрпримерных" серий

[glafira krinner]

Согласна. Правильно будет: доказать, что $a+b>x+y$ или $a+c>x+z.$

[glafira krinner]

Я доказала, но мне нужен чертеж. Не могу скопировать чертеж. Может, кто-нибудь подскажет. Спасибо.

[kotenok gav]

glafira krinner в сообщении #1461388 писал(а):

чертеж

GeoGebra + Tikz + LaTeX или любой файлообменник вам в помощь.

[waxtep]

glafira krinner в сообщении #1461314 писал(а):

Правильно будет: доказать, что $a+b>x+y$ или $a+c>x+z.$

Контрпример, для обоих выражений равенство: $10^2+5^2+2^2=8^2+7^2^+4^2$

-- 12.05.2020, 16:24 --

Возможно, это Вам поможет, если записать $c=z+a_1,y=c+a_2\ldots$, заданное равенство суммы квадратов выпишется совсем просто: $2z=2a_4+a_5$, а доказываемое утверждение как $\max(a_1,a_3)>a_5$; какой-либо связи в таком представлении не видно, очень большая свобода в подборе величин

-- 12.05.2020, 16:31 --

Это я конечно слегка приукрасил, исходное равенство станет таким, если туда уже подставить $a_1=a_3=a_5$