Задача по двумерным случайным величинам, теория вероятности

[korablique]

Дана плотность распределения случайной величины:
$f_{\xi,\eta}(x, y)=\begin{cases} Axy, (x, y)\in D;\\ 0, (x, y)\notin D. \end{cases} $
$D=\left\lbrace(x, y): x+y\leqslant1, x\geqslant0, y\geqslant0\right\rbrace$
Нужно найти A, для этого нужно вычислить двойной интеграл от плотности, но вот не знаю, какие пределы у интегралов писать

[Someone]

korablique в сообщении #1459850 писал(а):

нужно вычислить двойной интеграл от плотности, но вот не знаю, какие пределы у интегралов писать

В курсе математического анализа наверняка изучали двойные интегралы и учились расставлять пределы интегрирования. Начните хотя бы с чертежа, на котором покажите систему координат и область интегрирования.

[korablique]

Someone в сообщении #1459851 писал(а):

В курсе математического анализа наверняка изучали двойные интегралы и учились расставлять пределы интегрирования. Начните хотя бы с чертежа, на котором покажите систему координат и область интегрирования.

Вроде как кажется, что от 0 до 1, но тут x зависит от y

[mihaild]

korablique в сообщении #1459863 писал(а):

Вроде как кажется, что от 0 до 1,

Что "от 0 до 1"? Область интегрирования? Явно нет, хотя бы потому что она на плоскости, а не на прямой.

korablique в сообщении #1459850 писал(а):

нужно вычислить двойной интеграл от плотности, но вот не знаю, какие пределы у интегралов писать

Интеграл от плотности, чтобы получить $1$, надо брать по всей плоскости. Потом он, конечно, сведется к интегралу по какой-то области, т.к. вне этой области плотность нулевая, но вполне можно начинать с интеграла по всей плоскости. Сможете его явно записать, вместе с пределами?
Там получится не очень приятное подинтегральное выражение (разрывная функция), но, может быть, станет понятно, как разбить плоскость на области, в каждой из которых подинтегральная функция непрерывна.

[korablique]

mihaild в сообщении #1459864 писал(а):

Сможете его явно записать, вместе с пределами?
Там получится не очень приятное подинтегральное выражение (разрывная функция), но, может быть, станет понятно, как разбить плоскость на области, в каждой из которых подинтегральная функция непрерывна.

Если только так:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}Axydxdy$

[Brukvalub]

korablique в сообщении #1459869 писал(а):

Если только так:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}Axydxdy$

Объясните, почему именно так.

[korablique]

Brukvalub в сообщении #1459872 писал(а):

Объясните, почему именно так.

Условие нормировки, это должно равняться единице

[mihaild]

korablique в сообщении #1459869 писал(а):

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}Axydxdy$

Что у вас под интегралом? $Axy$? А должна быть плотность. Чему равна плотность в точке $(-1, -1)$? А ваша подинтегральная функция?

[korablique]

mihaild в сообщении #1459893 писал(а):

korablique в сообщении #1459869 писал(а):

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}Axydxdy$

Что у вас под интегралом? $Axy$? А должна быть плотность. Чему равна плотность в точке $(-1, -1)$? А ваша подинтегральная функция?

Нулю будет равна. Тогда я не знаю, как записывается правильно

[mihaild]

Что вы не знаете, как записывается плотность, или как записывается интеграл от записанной функции по плоскости?

[korablique]

mihaild в сообщении #1459908 писал(а):

Что вы не знаете, как записывается плотность, или как записывается интеграл от записанной функции по плоскости?

Интеграл

[korablique]

mihaild в сообщении #1459908 писал(а):

Что вы не знаете, как записывается плотность, или как записывается интеграл от записанной функции по плоскости?

Может быть, я непонятно задала вопрос. Если бы было
$f_{\xi\eta}(x, y)=\begin{cases} Axy, x, y \in [0, 1];\\ 0, x, y\notin [0, 1]. \end{cases}$
то пределы были бы

$$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}$$

А с этим условием не понимаю как

[kotenok gav]

korablique в сообщении #1459947 писал(а):

А с этим условием не понимаю как

Все просто - пределы интегрирования внутреннего интеграла должны зависеть от переменной внешнего.

[korablique]

kotenok gav в сообщении #1459949 писал(а):

Все просто - пределы интегрирования внутреннего интеграла должны зависеть от переменной внешнего.

$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-y}$? Но внешний тогда тоже не до единицы должен быть?

[kotenok gav]

korablique в сообщении #1459952 писал(а):

$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-y}$?

Правильно.

korablique в сообщении #1459952 писал(а):

Но внешний тогда тоже не до единицы должен быть?

Почему это? Вы фиксируете $y$ и меняете $x$.