Представление конечной группы

[Nickspa]

$G$ - конечная группа.
Доказать
1) что любое неприводимое представление конечномерно;
2) одномерное представление неприводимо;
3) одномерное представление от элементов коммутанта группы тождественно.

Про 1 и 2 особо и сказать нечего.
Ну в 1 пусть есть $V$ - бесконечномерное, каждому элементу $g$ сопоставляется оператор $A_g$ на $V$. Т.к. $G$ - конечна, то $A^{ord g}=Id_V$. Как из этого получить (и можно ли) разложимость, не знаю.

3 - одномерное представление - это гомоморфизм в мультипликативную группу поля, которая абелева, а при гомоморфизме в абелеву группу коммутант принадлежит ядру. Вроде так?

2. Видимо, надо показать, что поле как векторное пространство над собой не распадается в прямую сумму каких-либо подпространств. Но не вижу как.

Может кто направить?

[Brukvalub]

Nickspa в сообщении #1459187 писал(а):

2. Видимо, надо показать, что поле как векторное пространство над собой не распадается в прямую сумму каких-либо подпространств. Но не вижу как.

А какова размерность поля над собой?

[Nickspa]

Одномерное.
Но тогда в чем суть задания?

[Brukvalub]

Nickspa в сообщении #1459261 писал(а):

Но тогда в чем суть задания?

Что такое "суть"?

[Nickspa]

Brukvalub в сообщении #1459405 писал(а):

Что такое "суть"?

В чём состоит задача? В одномерном пространстве нет собственных подпространств. Значит, одномерное представление очевидно неприводимо. Что ещё?

[Slav-27]

Nickspa в сообщении #1459425 писал(а):

В одномерном пространстве нет собственных подпространств. Значит, одномерное представление очевидно неприводимо.

По-видимому, в этом.

1: выберите ненулевой вектор, что можно сказать про линейную оболочку его орбиты?

-- 01.05.2020, 18:03 --

Nickspa в сообщении #1459187 писал(а):

одномерное представление - это гомоморфизм в мультипликативную группу поля, которая абелева, а при гомоморфизме в абелеву группу коммутант принадлежит ядру. Вроде так?

Так, но не принадлежит, а содержится.

[Nickspa]

Slav-27 в сообщении #1459428 писал(а):

можно сказать про линейную оболочку его

Вследствие конечности $G$ это конечномерное $G$-инвариантное подпространство. То есть представление разбивается в сумму конечномерных подпространств орбит действия группы. Так получается?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Nickspa в сообщении #1459425 писал(а):

В чём состоит задача? В одномерном пространстве нет собственных подпространств. Значит, одномерное представление очевидно неприводимо. Что ещё?

Я написал
Чего же боле?
Что я могу еще сказать?
Теперь, я знаю
В Вашей воле
Меня вопросами терзать...

Раз уж вы сами не знаете, "что еще", то кто это может знать?

[Slav-27]

Nickspa в сообщении #1459470 писал(а):

Вследствие конечности $G$ это конечномерное $G$-инвариантное подпространство.

Да.

Nickspa в сообщении #1459470 писал(а):

То есть представление разбивается в сумму конечномерных подпространств орбит действия группы. Так получается?

Это написано коряво и я не понял (но задачу вы решили).