Найти уравнение конуса

[faraski]

Само задание: найти уравнение конуса с вершиной в точке $P(4,-1,3)$ , образующие которого касаются эллипсоида $x^2+2y^2+3z^2=1$
До чего дошел: можно найти уравнение плоскости, проходящей через точку $P$ и являющейся касательной к эллипсоиду: $x_0(4-x_0)+2y_0(-1-y_0)+3z_0(3-z_0)=0$.
Но что дальше? Как из этого можно получить образующие? И вообще, как найти касательную прямую, проходящую через какую-то точку на эллипсоиде?

[nnosipov]

А если бы эллипсоид был сферой, смогли бы задачу решить?

[iifat]

Ну, касательная прямая в трёхмерном пространстве действительно не определена. Но вот «прямая касается эллипса» — вполне понятное выражение, имхо.

[Padawan]

Пусть точка $(x,y,z)$ лежит на конусе. Как алгебраически выразить тот факт, что прямая, проходящая через точку $(x,y,z)$ и точку $P$ касается эллипсоида?

[Утундрий]

faraski
Сначала напишите уравнение всех прямых, проходящих через точку $P$.

[faraski]

Пусть $M(x_0;y_0;z_0)$ - лежит на эллипсоиде, тогда уравнение прямой проходящей через нее и точку $P$ - $\frac{X-4}{x_0-4}=\frac{Y+1}{y_0+1}=\frac{Z-3}{z_0-3}$

-- 25.04.2020, 19:07 --

Правильно ли я понял, что параметрическое выражение прямой можно просто подставить в уравнение эллипсоида, и там уже все от дискриминанта будет зависеть?

[Утундрий]

faraski в сообщении #1457883 писал(а):

Пусть $M(x_0;y_0;z_0)$ - лежит на эллипсоиде

Пусть $M$ лежит где угодно. Запишите уравнения всех прямых, проходящих через точку $P$.

[faraski]

Утундрий в сообщении #1457904 писал(а):

faraski в сообщении #1457883 писал(а):

Пусть $M(x_0;y_0;z_0)$ - лежит на эллипсоиде

Пусть $M$ лежит где угодно. Запишите уравнения всех прямых, проходящих через точку $P$.

Ну вот: $\frac{x - 4}{a} = \frac{y + 1}{b} = \frac{z - 3}{c}$ , где $a,b,c$ - какие-то направляющие вектора

[Утундрий]

faraski в сообщении #1457912 писал(а):

Ну вот: $\frac{x - 4}{a} = \frac{y + 1}{b} = \frac{z - 3}{c}$ , где $a,b,c$ - какие-то направляющие вектора

Константы. Или ещё можно сказать, что $(a,b,c)$ - некоторый вектор. Ему, кстати, лучше быть ненулевым, а не просто некоторым.

Ну, и как теперь найти некоторую точку на прямой, заданной некоторым фиксированным вектором $(a,b,c)$?

[faraski]

Утундрий в сообщении #1457915 писал(а):

faraski в сообщении #1457912 писал(а):

Ну вот: $\frac{x - 4}{a} = \frac{y + 1}{b} = \frac{z - 3}{c}$ , где $a,b,c$ - какие-то направляющие вектора

Константы. Или ещё можно сказать, что $(a,b,c)$ - некоторый вектор. Ему, кстати, лучше быть ненулевым, а не просто некоторым.

Ну, и как теперь найти некоторую точку на прямой, заданной некоторым фиксированным вектором $(a,b,c)$?

Если я правильно понял вопрос, то : $\frac{x- x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

[Утундрий]

faraski в сообщении #1457917 писал(а):

Если я правильно понял вопрос, то : $\frac{x- x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

Нет.

[faraski]

Утундрий в сообщении #1457919 писал(а):

faraski в сообщении #1457917 писал(а):

Если я правильно понял вопрос, то : $\frac{x- x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$

Нет.

Простите, но я не понимаю вопрос)

[amon]

faraski в сообщении #1457929 писал(а):

Простите, но я не понимаю вопрос

Найдите точки пересечения Вашей прямой и Вашего же эллипсоида и поразмышляйте над найденным.

[Padawan]

faraski в сообщении #1457883 писал(а):

Правильно ли я понял, что параметрическое выражение прямой можно просто подставить в уравнение эллипсоида, и там уже все от дискриминанта будет зависеть?

Да. Равенство нулю дискриминанта и будет искомым уравнением конуса.