о малое векторов у Зорича

[beroal]

Цитата:

Функция $f: E\to \mathbb{R}^n$, определённая на множестве $E\subseteq \mathbb{R}^m$, называется дифференцируемой в точке $x\in E$, предельной для множества $E$, если

$$f(x+h) - f(x) = L(x)(h) + \alpha(x; h),$$

где $L(x): \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ — линейная относительно $h$ функция, а $\alpha(x; h) = o(h)$ при $h\to 0$, $x+h\in E$.

Мне не понятен смысл формулы $\alpha(x; h) = o(h)$. Получается, $\alpha(x; h)\in \mathbb{R}^n$, $h\in \mathbb{R}^m$. Я не нашёл определения $o$ для векторов, тем более из разных векторных пространств. Может, имеется в виду $\left\|\alpha(x; h)\right\| = o(\left\|h\right\|)$?

[Padawan]

Именно это.

[beroal]

Вопрос по той же теме. Я правильно понимаю, что производная не всегда определена однозначно? Например, $f(x, y) := 0$, $f: E \to \mathbb{R}$, где $E := \{(x, y)\mid x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}; 0\leq y\leq x^2\}$. Линейное преобразование вида $(x, y)\mapsto a\times y$ для любого $a$ является производной $f$ в точке $(0, 0)$, потому что для любого $c>0$ расстояние между значением $f$ и его аппроксимацией $a\times y$ будет меньше $c\times \left\|(x, y)\right\|$ на множестве $\{(x, y)\mid \left|x\right|\leq c/\left|a\right|\} \cap E$.

[Brukvalub]

Интересно, где именно у Зорича дается такое определение дифференцируемости? Я в Зориче этого определения найти не смог.

[pupugai]

beroal в сообщении #1457753 писал(а):

Я правильно понимаю, что производная не всегда определена однозначно?

Получается, что да. Можно даже проще пример взять. В качестве E взять ось х. Но это скорее недостаток этого конкретного определения, чем настоящее свойство производной.