Сопряжённые функции.

[_20_]

DeBill в сообщении #1457633 писал(а):

Ну и сколько чисел будет в этой таблице?

Если у функции один аргумент, в таблице будет 4 числа: один аргумент - одно значение и второй аргумент - другое значение. Также у функции может быть дав аргумента - одно значение, тогда чисел будет 12: [2,2,a], [3,3,b], [2,3,c], [3,2,d].

[arseniiv]

_20_ в сообщении #1457537 писал(а):

Так тоже можно? В книге про это ничего нет, значит меня обманули?

Так тоже можно, но это не «сопряжённые», это просто ещё одна индуцируемая $f$ функция (и вообще таких функций можно иметь весьма много всяких, например $(\varphi\mapsto \varphi\circ(f, f, \mathrm{id}))\colon R^{N^2\times A} \to R^{M^2\times A}$). Так что и в книге вас не обманули, там просто рассматривают только то, что им потом нужно (как понимаю). Это сопряжение потом конкретизируется до сопряжения линейного отображения, если вместо $M, N$ брать линейные пространства над $R$ и брать не целиком множества функций, а уменьшить их до множеств линейных функций.

_20_ в сообщении #1457624 писал(а):

Значит сопряжение - это не строгое понятие и каждый автор может придумать своё сопряжение?

Каждый совсем уж своё не может. Есть несколько пониманий, вот типа сопряжения у комплексных чисел (оно обобщается немного), сопряжения в линейной алгебре, сопряжения в группе, может ещё несколько и всё. Они более-менее похожи, но если попробовать абстрагировать их все во что-то одно, то даже если что-то и получится, вам оно пользы прям сейчас не принесёт, так что не беспокойтесь на его счёт.

[Someone]

_20_ в сообщении #1457624 писал(а):

Значит сопряжение - это не строгое понятие

Почему "не строгое"? В каждом конкретном случае вполне строгое. Просто оно определяется в каждом конкретном случае отдельно. Как, впрочем, и другие математические понятия. Если, например, Вы думаете, что термин "умножение" определён раз и навсегда, для всех случаев, то Вы заблуждаетесь. Потому что существует множество алгебраических структур, в которых есть операция, называемая "умножением", и определение этого "умножения" в каждом случае своё.

_20_ в сообщении #1457624 писал(а):

И Вам тоже кажется здесь как - то не очень хорошо выглядет это слово?

Да, в обсуждаемом случае употребление термина "сопряжённое" мне кажется неудачным, потому что обычно употребление этого слова предполагает некоторую двойственность, выражающуюся в том, что "сопряжённое к сопряжённому" либо совпадает с исходным, либо как-то очень хорошо с ним связано. Например, есть понятие сопряжённого линейного пространства $X^*$ как множества линейных функционалов на линейном пространстве $X$. Естественно, можно определить $X^{**}$, и оказывается, что существует инвариантно определяемое (естественное) вложение $X\to X^{**}$, причём, в конечномерном случае $X$ и $X^{**}$ "естественно" изоморфны. В конечномерном случае $X$ и $X^*$ тоже изоморфны, но "естественного" изоморфизма нет.

[arseniiv]

Если для данного случая обозначить $X^* = R^X$ (и тогда $f^*\colon N^* \to M^*$ и $f^{**}\colon M^{**}\to N^{**}$), то естественное вложение $\iota\colon X\to X^{**}$ есть, причём строящееся тем же самым образом, что и в линейной алгебре: $\iota(x) = h\mapsto h(x)$. Возможно, авторы потому и решили обобщить случай линейной алгебры. (Хотя как они потом собирались этим обобщением пользоваться? По названию книга именно что про линал и всё.)

[Someone]

arseniiv, но в таком случае нужно говорить не о сопряжённом отображении, а о сопряжённом пространстве.

[_20_]

DeBill

Пр.1
Надо придумать любую функцию $\varphi:N\to \mathbb{R}$ и делать сопряжение. Пусть будет $y=\sin(x)$. Тогда по $f^*(\varphi) = \varphi \cdot f$ получаем:
для $f_1(x) = x^2$ получаем $y=sin(x^2)$
для $f_2(x) = (4-x)^2$ получаем $y=sin((4-x)^2)$
для $f_3(x) = 4$ получаем $y=sin(4)$
для $f_4(x) = 9$ получаем $y=sin(9)$
На счёт отображения плоскости в плоскость не понятно. Какая плоскость, если у нас только 2 точки имеются?

Пр.2
Во втором примере надо действовать по той же формуле, $f^*(\varphi) = \varphi \cdot f$. Но область значений у функции f - $\mathbb{R}^n$, а область определения у $\varphi$ - $\mathbb{R}^m$. То есть $\varphi$ не может непосредственно подействовать на результат f, как того требует определение сопряжения, а значит задание не имеет решения.

-- 24.04.2020, 19:58 --

Someone
Объясню, что я имею в виду под "не строгое". Например вектора бывают разными, с двумя, тремя, комплексными координатами. Но это всегда это отрезок с определённой длинной и у него есть направление. Умножение - это какое - то взаимодействие между элементами. В теории групп я читал, что в группе, состоящей из углов квадрата, это может быть поворот и 3*2=1. С этим тоже вопросов не возникает. Но сопряжение - это что - то совсем другое. Вот, например, сопряженное к комплексному числу - тоже комплексное число. Мне это понятно. А вот сопряжение к функцуии почему - то получается функционал. А вот если, например, я придумаю к функции $y=x^2$ такое сопряжение: нога кошки умножить на хвост собаки и возвести в степень результата функции $y$ - тоже будет нормально? Она же зависит от первоначяальной функции? Зависит. А в зависимости от породы собак и кошек будут разные результаты.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Someone
$R^X$ и будет «сопряжённым пространством» для $X$ (если мы заранее зафиксировали какое-то одно $R$), так как есть $\iota\colon X\to R^{R^X}$ для любого $X$. Но я и сам нигде ни разу не видел, чтобы кто-то говорил о таких вещах для просто множеств (и называл их такими словами), так что это действительно необычно. Я бы решил, что дело в том, что для тех же линейных пространств это (и сопряжённое отображение) куда более содержательные вещи, а для простых множеств это довольно тривиальные факты без каких-то вроде бы интересных следствий самих по себе. (Разве что можно наверно какие-нибудь связи с логикой через теорию категорий провести (при $R = \varnothing$ — с отрицанием и контрапозицией), но тогда их и стоит начинать с последней, а не с множеств.)

[Slav-27]

_20_
Ерундой занимаетесь. Я не хочу вас обидеть, и не против этого, занимайтесь чем хотите, но я подумал, что чужое мнение может быть вам полезно.

Если есть функция из $A$ в $B$ и ещё функция из $B$ в $C$, то определена их композиция. Вот примерно всё содержание этой быстро растущей темы.

Слово "сопряжение" в этом смысле использовать нестандартно, но если нужно какое-то слово, то почему бы и не это (мне никогда специальное слово для этого нужно не было).

[Someone]

arseniiv в сообщении #1457689 писал(а):

$R^X$ и будет «сопряжённым пространством» для $X$

Я не против. И да, отображение сопряжённых пространств, индуцированное отображением исходных пространств, можно назвать сопряжённым отображением. Убедили.

arseniiv в сообщении #1457689 писал(а):

Но я и сам нигде ни разу не видел, чтобы кто-то говорил о таких вещах для просто множеств (и называл их такими словами), так что это действительно необычно.

В принципе, в топологии такие вещи рассматриваются (всякие пространства функций), но термина "сопряжённое пространство" или "сопряжённое отображение" я там не встречал. Равно как и $R^{R^X}$. Впрочем, я этой тематикой не увлекался.

[DeBill]

_20_ в сообщении #1457676 писал(а):

область определения у $\varphi$ - $\mathbb{R}^m$.

Нет.

_20_ в сообщении #1457676 писал(а):

На счёт отображения плоскости в плоскость не понятно. Какая плоскость, если у нас только 2 точки имеются?

Вот именно.

_20_ в сообщении #1457676 писал(а):

Надо придумать любую функцию

А теперь надо придумать все остальные....

-- 24.04.2020, 23:30 --

Slav-27 в сообщении #1457702 писал(а):

_20_
Ерундой занимаетесь.

Присоединяюсь.
Вообще, чел, изучивший вариационное исчисление (я просмотрел историю сообщений ТС), вроде бы, не должен путаться в таких простеньких вещах (и называть Эр-2 "квадрат множества вещественных чисел"). Как то это мне все сомнительно - так что я выхожу из дискуссии...

[_20_]

DeBill в сообщении #1457743 писал(а):

Присоединяюсь.
Вообще, чел, изучивший вариационное исчисление (я просмотрел историю сообщений ТС), вроде бы, не должен путаться в таких простеньких вещах (и называть Эр-2 "квадрат множества вещественных чисел"). Как то это мне все сомнительно - так что я выхожу из дискуссии...

Вот давайте не будем считать кто что должен и чего не должен. Вы, например, путаете задание функции с заданием её области определения, а я потом должен расшифровывать, что Вы сказать хотели. Вам кажется это элементарным, а я Вас понять не могу.

DeBill в сообщении #1457743 писал(а):

_20_ в сообщении #1457676 писал(а):

область определения у $\varphi$ - $\mathbb{R}^m$.

Нет.

С этой $\varphi$, вот цитирую:

DeBill в сообщении #1457535 писал(а):

Пусть $ M=\mathbb{R}^m, N=\mathbb{R}^n$, $f$ - линейное (задается матрицей). Вместо $F(M,\mathbb{R})$ будем рассматривать пространство $LF(M,\mathbb{R})$ линейных отображений из $M$ в $\mathbb{R}$ (его, кстати, называют сопряженным к $M$), его элементами будем считать вектора из $\mathbb{R}^m$, (т.е., каждое $\varphi$ определяется неким вектором $a$, и действует по правилу $\varphi (x)= (x,a)$ - здесь - скалярное произведение). Вот. И что тогда есть $f^*$ ?

На каком множестве она определена? Она является элементом $LF(M,\mathbb{R})$? Значит она определена на $M = \mathbb{R}^m$, почему нет?

-- 24.04.2020, 23:37 --

Остальным спасибо, вопрос, в принципе, исчерпан. Тема возникла из - за того, что меня очень удивило слово "сопряжение" по отношению к разным по абстрактности элементам, но, я понял, что это удивляет не только меня. Употребление этого слова не-очень-то-и-строгое, и сопряжения бывают разные.

Если DeBill соберётся с силами и напишет опрятно, что он мне хотел сказать, я с удовольствием послушаю и буду решать его примеры. Какие там плоскости в двухэлементных множествах, почему они не, например, отрезки?

[DeBill]

_20_
Ну, извините, если что не так...Видимо, сидение на карантине приводит к порче характера

[_20_]

DeBill
И Вы меня тоже извините, если что не так.