Антисимметрия тензора второго ранга

[UmnyjDurak]

Добрый день,
возникла определённая проблема в ходе изучения прямого тензорного исчисления.
Имеется векторное умножение $a\times b$.
Исходя из свойства единичного тензора получаем цепочку равенств:
$a\times b=a\times (E\cdot b)=a\times E\cdot b=ba\times \cdot E$,
теперь полагая $T=ab$ и $R=ba$, получаем $a\times b= R\times \cdot E$.
В то же время имеем другие равенства:
$a\times b=-b\times a=-b\times (E\cdot a)=-b\times E\cdot a=-ab\times \cdot E=-T\times \cdot E$,
из чего имеем $-T\times \cdot E=R\times \cdot E\Leftrightarrow R=-T$.
Получается, что любой тензор второго ранга является антисимметричным!
Прошу подсказать, где ошибка.

[Xaositect]

Я не понимаю Ваши обозначения. $E$ - это, наверное, тождественный оператор. А вот что такое $ab \times \cdot E$?

[arseniiv]

Ещё например если $\times$ — векторное умножение, а конкатенация — тензорное произведение (что трудно допустить, но допустим), то тогда некорректна запись $ba\times\ldots$, потому что векторное произведение определено только на векторах. Мистический апокриф.

[UmnyjDurak]

Извините, использую обозначения принятые в книге В.А. Пальмова "Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа". $E$ это единичный тензор, операция $\times \cdot$ определена как: $ab\times \cdot cd=(b\times c)(a\cdot d)$. Результат соответственно такой операции в случае диад - вектор.

[arseniiv]

Ой, ужас, эта книга вроде уже кого-то в сторону от нормального простого тензорного исчисления увела здесь на форуме.

А точка — и скалярное произведение, и применение оператора к вектору? Тогда уже даже непонятно, откуда берётся $a\times(E\cdot b) = a\times E\cdot b$ (справа видимо скобки вокруг $a\times E$?), ведь векторное произведение определено только для векторов, нельзя векторно умножить на $E$. Или если в книге это доопределяется, то скажите, как именно. Хотя целиком результат $a\times b = (ba)\mathbin{\times\cdot} E$ верен. И второй дальше тоже, а вот вывод

UmnyjDurak в сообщении #1457444 писал(а):

из чего имеем $-T\times \cdot E=R\times \cdot E\Leftrightarrow R=-T$.

сомнительный. Точно доказано, что можно сокращать, даже если один из аргументов $E$? По-моему нельзя получить даже $(R + T) \mathbin{\times\cdot} E = 0$.

[Xaositect]

У Вас все до последнего равенства верно. Это показывает, что отображение $T \mapsto T \times \cdot E$ необратимо (что неудивительно, поскольку необратимо и векторное произведение векторов - из $a \times c = b \times c$ не следует $a = b$).
Более точно, $T \times \cdot E = 0$ тогда и только тогда, когда $T$ симметричен (в одну сторону Вы это уже по сути доказали, попробуйте доказать в другую).

-- Чт апр 23, 2020 19:09:40 --

arseniiv $(T \mapsto T \times \cdot E)|_{\Lambda^2 \mathbb R^3} = \star$

[arseniiv]

Xaositect
О, спасибо, так чуть легче.

Мне тоже стоило сообразить, что необратимости одного лишь $\times$ уже достаточно и её никак нельзя будет убрать дополнительными движениями (остальное-то проделывается уже над другими векторами), но как-то сначала не додумал.

[UmnyjDurak]

arseniiv
Xaositect
Благодарю, я как-то тоже не подумал про необратимость векторного произведения.

Не такой уж он, оказалось, и мистический, сей апокриф.