Доказательство теоремы отделимости

[rancid_rot]

Вопрос по последнему абзацу (см. картинку). Почему $r$ является внутренней точкой отрезка $p_{0}q$? Ведь если это так, то $r \neq p_{0}$ и $p_{0} \notin (M')^{\circ}$. Но $p_{0} \in M^{\circ}$ и $p_{0} \in S'$, и получается противоречие с выводом в конце.

[vpb]

rancid_rot в сообщении #1455180 писал(а):

Почему $r$ является внутренней точкой отрезка $p_{0}q$? В

Если $r\in(M')^0$, то любая точка в подпространстве $S'$, лежащая достаточно близко к $r$, лежит в $M'$. В частности, возьмем в качестве $q$ точку, лежащую на прямой $p_0r$ на луче, дополнительном к $[rp_0)$, причем достаточно близко к $r$. Она лежит в $M'$. Точки $p_0$, $r$, $q$ лежат на одной прямой ($p_0r$) в порядке $(p_0,r,q)$.

... Понятно, или еще нет ?

-- 16.04.2020, 22:04 --

И есть еще такое утверждение. Если $X$ --- выпуклое, $a,b\in X$, причем $a$ лежит во внутренности $X^\circ$, то любая внутренняя точка $c$ отрезка $ab$ тоже лежит в $X^\circ$.

[rancid_rot]

vpb в сообщении #1455293 писал(а):

Если $X$ --- выпуклое, $a,b\in X$, причем $a$ лежит во внутренности $X^\circ$, то любая внутренняя точка $c$ отрезка $ab$ тоже лежит в $X^\circ$.

Да, но это не значит, что в $(a,b)$ входят все точки $X^\circ$.

vpb в сообщении #1455293 писал(а):

В частности, возьмем в качестве $q$ точку, лежащую на прямой $p_0r$ на луче, дополнительном к $[rp_0)$

А что будем делать, если $r = q_{0}$? В доказательстве теоремы сказано, что ВСЯКАЯ точка $r \in (M')^\circ$ является внутренней точкой отрезка. Получается, что и $p_{0}$ тоже. То есть граничная точка отрезка является внутренней точкой этого же отрезка.

[vpb]

rancid_rot в сообщении #1455319 писал(а):

Да, но это не значит, что в $(a,b)$ входят все точки $X^\circ$.

Да, конечно, не значит. А к чему вы об этом написали ?

rancid_rot в сообщении #1455319 писал(а):

Получается, что и $p_{0}$ тоже. То есть граничная точка отрезка является внутренней.

Да, это место в книжке малость некоректно. Но для $p_0$ нужное утверждение тривиально.