Оценка интеграла с параметрами

[alisa-lebovski]

Имеется следующая функция

$$F(n,a)=\left(\int_0^1|nx^{n-1}-a|^{4/3}\,dx\right)^{3/4},\quad n>2,$$

которая в явном виде не считается, только численно. При фиксированных $n$ желательно оценить ее сверху и поточнее, какой-то достаточно простой и гладкой нелинейной функцией от $a$ (поскольку это все входит как часть в выражение, которое надо оптимизировать). Пока все, что придумалось, это

$$F(n,a)\le F(n,a_0)+|a-a_0|,$$

для любого $a_0$ (из неравенства треугольника для норм в $L^{4/3}[0,1]$). Но это не совсем то, что хотелось бы.

[mihiv]

При $n<a$ интеграл в скобках $I<a^{\frac 13}\int \limits _0^1(a-nx^{n-1})dx=a^{\frac 13}(a-1)$, и ,следовательно, $F(n,a)<a^{\frac 14}(a-1)^{\frac 34}$.
Если $n>a$, то запишем: $I=\int \limits _0^{x_0}+\int \limits _{x_0}^1, (x_0$ определим из условия: $nx_0^{n-1}-a=0, x_0=(\frac an)^{\frac 1{n-1}})$. В этом случае

$$I<a^{\frac 13}\int \limits _0^{x_0}(a-nx^{n-1})dx+n^{\frac 13}\int \limits _{x_0}^1(nx^{n-1}-a)dx=a^{\frac 13}(ax_0-x_0^n)+n^{\frac 13}(1-x_0^n-a(1-x_0))$$

Или:

$$I<ax_0(1-\frac 1n)(a^{\frac 13}+n^{\frac 13})+n^{\frac 13}(1-a)$$

[Markiyan Hirnyk]

Почему нельзя применить численную оптимизацию, в которой значение интеграла находится численными методами?

[alisa-lebovski]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1452921 писал(а):

Почему нельзя применить численную оптимизацию, в которой значение интеграла находится численными методами?

Потому что тогда работа будет не достаточно теоретической. В том числе поэтому ее уже один раз отклонили из журнала.

[novichok2018]

Про параметр $a$ что-то добавите, есть на него ограничения?

[alisa-lebovski]

novichok2018 в сообщении #1452999 писал(а):

Про параметр $a$ что-то добавите, есть на него ограничения?

Нет, $a$ любое.

[novichok2018]

Можно попробовать оценить сверху по неравенству, которое принято называть Гёльдера.
Выберем в нём параметры $p=3, q=3/2$. Тогда оценим интеграл

$$ \int_0^1 1\cdot \left(|n\,x^{n-1} -a|^{4/3} \right)\,dx \leq (\int_0^1 1^3 \,dx)^{1/3}\times \left(\int_0^1 \left(|n x^{n-1}-a}|^{4/3}\right)^{3/2}\,dx \right)^{2/3}= $$

$$ =\left(\int_0^1 (n x^{n-1} -a)^2\,dx\right)^{2/3}. $$

Последний интеграл считается явно, и надо учесть пару степеней для окончательной оценки.

[novichok2018]

alisa-lebovski - оценка выше не пригодилась?

[alisa-lebovski]

novichok2018 в сообщении #1455051 писал(а):

alisa-lebovski - оценка выше не пригодилась?

Спасибо. К сожалению, оценка слишком грубая, дает совершенно разную асимптотику по $n$.

[novichok2018]

Исходный интеграл похоже выражается через гипергеометрические функции, например, при отрицательных $a$, чтобы ушёл модуль. Потом можно попробовать найти у гипергеометрической функции нужную Вам асимптотику, если это возможно и известно по справочникам. К сожалению, с асимптотиками гипергеометрии даже для более простых функций далеко не всё известно.