Правила остановки в численных методах

[give_up]

В одном конспекте лекций по численным методам оптимизации утверждается следующее:



Меня смущают две строчки с формулами, идущие после слова "Тогда". Математически мне ясно, что это неравенство треугольника для нормы. Но с какой целью написаны эти две строки? Может кто-то подскажет, какой в них скрытый смысл?

Пока у меня появились лишь такие мысли: пусть мы зададим число $\tilde\varepsilon$ и критерий остановки в виде $||x_{k+1} - x_k|| \le \tilde\varepsilon$, и, допустим, на какой-то итерации $k+1$ мы добъемся его выполнения. Также всегда можно сказать, что $||x_{k+1} - x_k|| \le \left\|x_{k+1}-x^{*}\right\|+\left\|x_{k}-x^{*}\right\| \leq 2\varepsilon$, где $\varepsilon$ - некоторая неизвестная константа, такая, что $||x_k - x^*|| \le \varepsilon $ (т.к. точка $x^*$ неизвестна). Но непонятно, как $\varepsilon$ связана с известной константой $\tilde\varepsilon$ (больше или меньше ее), и как вообще это можно использовать...

[mihaild]

Скорее всего тут предлагается вместо условия $\|x_k - x^*\| < \varepsilon$ использовать более слабое (следствие из него) $\|x_k - x_{k + 1}\| \leqslant 2 \varepsilon$.

[give_up]

mihaild в сообщении #1454552 писал(а):

Скорее всего тут предлагается вместо условия $\|x_k - x^*\| < \varepsilon$ использовать более слабое (следствие из него) $\|x_k - x_{k + 1}\| \leqslant 2 \varepsilon$.

Под фразой "более слабое" вы подразумеваете, что $\|x_k - x_{k + 1}\| \leqslant 2 \varepsilon$ вообще говоря не гарантирует сходимости к точке $x^*$ ? Другими словами из $\|x_k - x^*\| < \varepsilon$ следует $\|x_k - x_{k + 1}\| \leqslant 2 \varepsilon$, но в обратную сторону это утверждение вовсе не обязано выполняться (хотя на практике часто выполняется, как я понял).

[mihaild]

give_up в сообщении #1454557 писал(а):

Под фразой "более слабое" вы подразумеваете, что $\|x_k - x_{k + 1}\| \leqslant 2 \varepsilon$ вообще говоря не гарантирует сходимости к точке $x^*$ ?

Да. Утверждение $X$ называется более слабым, чем утверждение $Y$, если из $Y$ следует $X$, но из $X$ в общем случае $Y$ не следует.

[give_up]

Ясно, спасибо.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Ctrl+Break - тоже хороший критерий.