Операционное исчисление

[new_sergei]

Здравствуйте.

Необходимо методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

\[ x'' - 9x = e^{ - 2t} ; \]

\[ x(0) = x'(0) = 0; \]

Решение у меня есть, но, мне кажется, что оно неправильное. Посмотрите, пожалуйста.

\[ \begin{array}{l} x''(t) = p^2 X(p) - px(0) - x'(0) = p^2 X(p); \\ e^{ - 2t} = \frac{1}{{p + 2}}; \\ X(p)\left( {p^2 - 9} \right) = \frac{1}{{p + 2}}; \\ X(p) = \frac{1}{{p + 2}} \cdot \frac{1}{{p - 3}} \cdot \frac{1}{{p + 3}}; \\ X(p) = e^{ - 2t} \cdot e^{3t} \cdot e^{ - 3t} = e^{ - 2t} ; \\ \end{array} \]

[Brukvalub]

Ну и жесть... Надеюсь, хоть подставить полученное решение в д.у. и в нач. условия, чтобы убедиться, что все неверно, Вы способны???
Не говоря уже о том, что "образы" в решении приравнены к оригиналам, и т.п.....

[ewert]

new_sergei писал(а):

\[ \begin{array}{l} X(p) = \frac{1}{{p + 2}} \cdot \frac{1}{{p - 3}} \cdot \frac{1}{{p + 3}}; \\ X(p) = e^{ - 2t} \cdot e^{3t} \cdot e^{ - 3t} = e^{ - 2t} ; \\ \end{array} \]

Ну а на простейшие-то кто будет раскладывать?

И -- да, вместо равенств ставьте ну хотя бы "$\leftrightarrow$".

[Парджеттер]

ewert писал(а):

И -- да, вместо равенств ставьте ну хотя бы "$\leftrightarrow$".

А зачем? Есть же вроде более-менее стандартное $\fallingdotseq$

$\fallingdotseq$

new_sergei в сообщении #145117 писал(а):

Решение у меня есть, но, мне кажется, что оно неправильное.

А что значит кажется? Решение дифференциального уравнения должно удовлетворять этому дифференциальному уравнению. Надо же подставить и проверить. В данном случае это не трудная работа, после которой можно было бы вполне опустить слово кажется.

[ewert]

Парджеттер писал(а):

А зачем? Есть же вроде более-менее стандартное $\fallingdotseq$

Спасибо, не знал (не было необходимости; впрочем, когда и если появится -- непременно снова забуду).

Тогда уж: а как пишется прямое преобразование Лапласа?

[new_sergei]

ewert писал(а):

new_sergei писал(а):

\[ \begin{array}{l} X(p) = \frac{1}{{p + 2}} \cdot \frac{1}{{p - 3}} \cdot \frac{1}{{p + 3}}; \\ X(p) = e^{ - 2t} \cdot e^{3t} \cdot e^{ - 3t} = e^{ - 2t} ; \\ \end{array} \]

Ну а на простейшие-то кто будет раскладывать?

И -- да, вместо равенств ставьте ну хотя бы "$\leftrightarrow$".

Господа, не бейте, пожалуйста, ногами. Я уже понял, что решение не верно. Теперь пытаюсь понять, что нужно сделать дальше для получения правильного решения.

К какому виду надо привести выражение

\[ \frac{1}{{p + 2}} \cdot \frac{1}{{p - 3}} \cdot \frac{1}{{p + 3}} \]

?

[Brukvalub]

Его нужно представить в виде суммы, а не произведения таких же дробей, но с другими числителями, то есть разложить

ewert в сообщении #145255 писал(а):

на простейшие

[lihonosov]

Найти изображение функции, используя теорему про дифференцирование изображения:
$-tsin2t$

$$-tsin2t \to {\left (\frac 2 {{p^2}+4}\right)^'} = \frac {4p} {(p^2+4)^2}$$

[mkot]

lihonosov писал(а):

Правильно ли решение?
Найти изображение функции, используя теорему про дифференцирование изображения:
$-tsin2t$

$$-tsin2t \to {\left (\frac 2 {{p^2}+4}\right)^'} = \frac {4p} {(p^2+4)^2}$$

Нет не правильно, так как неверно вычислена производная.

[lihonosov]

mkot
Почему?
Вот нашел:
В таблице некоторых изображений и их оригиналов:

$$tsinat \to \frac {2pa} {(p^2+a^2)^2}$$

Как я понял мне нужно только поставить минус:

$$-tsin2t \to -{\left (\frac 2 {{p^2}+4}\right)^'} = -\frac {4p} {(p^2+4)^2}$$

[mkot]

lihonosov писал(а):

Почему?

Теперь правильно написано. Сравните то что было и то, что вы сейчас написали:

lihonosov писал(а):

$$-tsin2t \to {\left (\frac 2 {{p^2}+4}\right)^'} = \frac {4p} {(p^2+4)^2}$$

lihonosov писал(а):

$$-tsin2t \to -{\left (\frac 2 {{p^2}+4}\right)^'} = -\frac {4p} {(p^2+4)^2}$$

Видите разницу?

[lihonosov]

mkot
Да. В первый раз про минус забыл.
Еще подскажите с чего начать, а то неполучается решить:
Найти решение линейного уравнения со сменными коэффициентами:
$xy''-y'=0$

[Brukvalub]

Сначала понизьте порядок уравнения.