интеграл Римана

[zoo]

от одного коллеги услышал про очень симпатичный, как мне кажется, способ построения интеграла Римана. Берем координатный куб $K\subset \mathbb{R}^n$ разбиваем всевозможными способами на координатные кубики. На этих кубиках рассматриваем пространство ступенчатых функций и их линейные комбинации. На этом пространстве вводим норму равномерной сходимости.

Опр1 Пополнение множества ступенчатых функций по этой норме называется пространством функций интегрируемых по Риману в$K$ -- $R(K)$.
Опр2 Множество $D\subset K$ называется измеримым если $\chi_D\in R(K)$
Интеграл Римана определяется известным образом на ступенчатых функциях, это ограниченный линейный функционал; далее этот линейный функционал по непрерывности продолжается на все $R(K)$.
Опр3 пространство $R(D)$ состоит из функций $f$ для которых $f\chi_D\in R(K)$ и соответственно
$\int_Df(x)dx=\int_Kf(x)\chi_D(x)dx$.

[lofar]

Измерим ли круг $U=\{(x,y)\colon x^2+y^2<1\}$? Вроде бы для любой ступенчатой функции $f$ верна оценка $||\chi_U-f||\geqslant 1/2$.

[Brukvalub]

zoo в сообщении #144599 писал(а):

На этом пространстве вводим норму равномерной сходимости.

Опр1 Пополнение множества ступенчатых функций по этой норме называется пространством функций интегрируемых по Риману в$K$ -- $R(K)$.

Да и я ни в жисть не поверю, что всякую интегрируемую в стандартном смысле по Риману функцию можно равномерно приблизить ступенчатыми функциями на кубиках. В интегральной метрике - да, но в равномерной?

[zoo]

да, действительно ахинея получается, не критически отнесся я к сообщению
однако я тут порылся и обнаружил, что в одномерном случае такое построение интеграла Римана все же используется [Driver, Analysis tools and appl]. И что интересно, ни Рудин, ни Л.Шварц ни Драйвер в своих учебниках интеграл Римана в $\mathbb{R}^n$ вообще не рассматривают, там только интеграл Римана на прямой и сразу затем интеграл Лебега

[ewert]

не рассматриваут -- наверное, потому, что в многомерном случае само понятие разбиения области (да и понятие объёма) совсем не тривиально, и дешевле сразу перейти к конструкции Лебега.

[zoo]

ewert писал(а):

не рассматриваут -- наверное, потому, что в многомерном случае само понятие разбиения области (да и понятие объёма) совсем не тривиально, и дешевле сразу перейти к конструкции Лебега.

очевидно так

[sasha-parazit]

Brukvalub писал(а):

Да и я ни в жисть не поверю, что всякую интегрируемую в стандартном смысле по Риману функцию можно равномерно приблизить ступенчатыми функциями на кубиках. В интегральной метрике - да, но в равномерной?

в равномерной тоже можно:
разбиваем куб на достаточно мелкие, чтобы колебание было меньше $\epsilon$ в мелких и затем строим ступенчатую. эта ступенчатая приближает исходную равномерно.
(кубики с границей)

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

lofar писал(а):

Измерим ли круг $U=\{(x,y)\colon x^2+y^2<1\}$? Вроде бы для любой ступенчатой функции $f$ верна оценка $||\chi_U-f||\geqslant 1/2$.

круг точно измерим. оценка не верна.

определение интегрируемых функций и интерала вполне корректное: доказательство эквивалентности этого с определением через суммы Дарбу можно дать.

[Brukvalub]

sasha-parazit в сообщении #144945 писал(а):

в равномерной тоже можно:
разбиваем куб на достаточно мелкие, чтобы колебание было меньше $\epsilon$ в мелких и затем строим ступенчатую. эта ступенчатая приближает исходную равномерно.
(кубики с границей)

Колебание какого объекта должно быть маленьким после разбиения?

[sasha-parazit]

значения функии в маленьком квадрате

[zoo]

щас двоешники фсе па местам раставят и внесут яснась фсюду

[Brukvalub]

Brukvalub в сообщении #144947 писал(а):

Колебание какого объекта должно быть маленьким после разбиения?

sasha-parazit в сообщении #144948 писал(а):

значения функии в маленьком квадрате

Вы уверены, что этого можно добиться для каждой интегрируемой функции? Например, для функции Римана? Или просто докажите существование такого разбиения единичного отрезка для функции

\[ f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1\;,\;x = \frac{1}{n}} \\ {0\;,\;x \ne \frac{1}{n}} \\ \end{array}} \right. \]

.

[sasha-parazit]

zoo писал(а):

щас двоешники фсе па местам раставят и внесут яснась фсюду

я хочу обсудить вопрос, приму любую КОНСТРУКТИВНУЮ критику в свой адрес.
Ваша фраза не имеет никакого отношения к обсуждаемой теме.

[zoo]

Brukvalub в сообщении #144952 писал(а):

Вы уверены, что этого можно добиться для каждой интегрируемой функции? Например, для функции Римана? Или просто докажите существование такого разбиения единичного отрезка для функции\[ f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1\;,\;x = \frac{1}{n}} \\ {0\;,\;x \ne \frac{1}{n}} \\ \end{array}} \right. \]

вот это Вы как раз напрасно, ссылку на книгу в которой интеграл Римана в $\mathbb{R}^1$ строится, как было указано я уже уже дал, так, что проблемы возникают в многомерном случае, в одномерном все в порядке.

[Brukvalub]

zoo в сообщении #144956 писал(а):

вот это Вы как раз напрасно, ссылку на книгу в которой интеграл Римана в $\mathbb{R}^1$ строится, как было указано я уже уже дал, так, что проблемы возникают в многомерном случае, в одномерном все в порядке.

Тогда я попрошу и Вас, zoo, конструктивно ответить на мой вопрос.

[sasha-parazit]

Brukvalub писал(а):

Вы уверены, что этого можно добиться для каждой интегрируемой функции? Например, для функции Римана? Или просто докажите существование такого разбиения единичного отрезка для функции

\[ f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1\;,\;x = \frac{1}{n}} \\ {0\;,\;x \ne \frac{1}{n}} \\ \end{array}} \right. \]

.

согласен, с равномерной метрикой не получается

Добавлено спустя 5 минут 28 секунд:

А если в определении 1 использовать интегральную норму $\left\|u\right\| =\int_K |u|dK$?

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

ввести ее естественно не через интеграл, а как сумму

Добавлено спустя 12 минут 37 секунд:

Если использовать интегральную норму, то все получится(в плане определения). С функцией Римана(в иррациональных ноль, в рациональных -- обратное к наименьшему знаменателю) получается (она входит в R(K))