Несколько задач по метрическим пространствам

[matan]

Помогите пожалуйста решить задачи:
1. Является ли метрикой на множестве

$$X=\mathbb{R}$$

функция

$$ f(x,y)=th|x-y|$$

?Если это так, то проверить полноту порождаемого ею метрического пространства.
2. Является ли данная последовательность

$$ x_n(t)=sin(2*Pi*t^n)$$

в метрических пространствах

$$(C_{[0,1]}, sup|x_n-y_n|) , (C_{[0,1/3]},sup|x_n-y_n|), (C_{[0,1/2]}, sup|x_n-y_n|)$$

фундаментальной, сходящейся?
3. Верно ли, что

$$ x\in\ {U_{7/3}(y)}$$

в метрическом пространстве

$$(C_{[0,2]}, \int\limits_0^2|x(t)-y(t)|dt)$$

, где

$$x(t)=2t+t^2 $$

,

$$y(t)=3*t^{1/2}$$

?
4.Является ли множество

$$ A=({x_n^{(k)}=\sum\limits_{m=1}^{n} {1/(mk)^2} , k\in\mathbb{N} )$$

ограниченым в МП из упр3?

[Brukvalub]

А что не получается?

[matan]

В первом задании не могу доказать полноту МП

[Brukvalub]

Напишите, как Вы проверяете в этом случае определение полноты.

[matan]

МП называется полным тогда и только тогда, когда любая фундаментальная последовательность в этом МП является сходящейся.
Как я понимаю нужно какимто образом из определения фундаментальности получить сходимость

[Brukvalub]

matan в сообщении #144052 писал(а):

Как я понимаю нужно какимто образом из определения фундаментальности получить сходимость

Верно. И получается это точно так же, как и для стандартной метрики.

[matan]

№2 Не подскажете как определять сходимомть, фундаментальность в данных МП.Просто по определению?А как тогда доказать что результат верен?

[Brukvalub]

matan в сообщении #144060 писал(а):

№2 Не подскажете как определять сходимомть, фундаментальность в данных МП.Просто по определению?

Да, по определению.

[matan]

№3 Никак не могк понять, как проверить, что точка попадает в шар заданного радиуса

[Brukvalub]

Проверить определение шара, вычислив расстояние между функциями.

[matan]

№2 Никак не могу разобраться с 3-им МП

[Brukvalub]

Рассматриваемая метрика называется равномерной и соответствует равномерной сходимости. Я уверен, что Вы знаете алгоритм исследования функциональной последовательности на равномерную сходимость - вот его и примените.

[matan]

Извините за глупый вопрос, но я забыл как ищется супремум
расстояний между точками

[Brukvalub]

matan в сообщении #144816 писал(а):

Извините за глупый вопрос, но я забыл как ищется супремум
расстояний между точками

Речь у Вас идет о супремуме на отрезке модуля разности двух непрерывных функций, поэтому вместо супремума берите максимум.

[matan]

Простите пожалуйста за то, что я не правильно выразился. Я имел в виду 4-е задание.А для того, чтобы определить ограниченность множества, нужно найти супремум расстояний между точками этого множества.Именно его я и не могу найти.