Найти все собственные значения матрицы

[mehanat]

Найдите все собственные значения матрицы $v \cdot v^T$, где $v$ - некоторый вектор-столбец

После того, как я взял несколько вектор-столбцов размера $2$ и $3$ и нашел с.з. получившихся матриц, появилось предположение, что все подобные матрицы имеют ровно два с.з. - это $0$ и $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + ...$ для $v = (a_1; a_2; a_3 ...)^T$
Подскажите пожалуйста, как доказать последнее

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что все столбцы этой матрицы получаются умножением фиксированного вектора на некоторые скаляры. Тем самым, ранг оператора с данной матрицей равен 1.

[mehanat]

Brukvalub в сообщении #1444842 писал(а):

Тем самым, ранг оператора с данной матрицей равен 1.

получается, что матрица имеет только 1 ненулевое с.з. Тогда не совсем понимаю как доказать, что оно равно $a_1^2+a_2^2+..$

[Xaositect]

Подумайте, а какой будет собственный вектор у этого собственного значения?

[mehanat]

Xaositect в сообщении #1444855 писал(а):

Подумайте, а какой будет собственный вектор у этого собственного значения?

спасибо, действительно, для этого собственного значения подходит сам вектор $v = (a_1; a_2; a_3...)$