неравенство из последних олимпиад

[isf_litsey6]

Пусть a,b и c действительные положительные числа сумма которых равна 2. Докажите неравенство
a^4+b^4+c^4+abc \geqslant a^3+b^3+c^3
мне посоветовали что
Это условное неравенство эквивалентно безусловному однородному неравенству: 2(a^4+b^4+c^4)+abc(a+b+c) \geqslant (a^3+b^3+c^3)(a+b+c) (с положительными a, \; b, \; c), которое можно доказать с помощью неравенств Мюрхеда.
после преобразований a^4+b^4+c^4+a^2bc+b^2ac+c^2ab \geqslant a^3b+a^3c+b^3a+b^3c+c^3a+c^3b
может быть я ошибаюсь но правая сторона неравенства это полный набор (3,1,0)
а три первые слагаемые левой части половина набора (4,0,0) которая больше набора (3,1,0) ; три остальные слагаемые половина набора (2,1,1) которая меньше набора (3,1,0)
помогите пожалуйста

[Sicker]

isf_litsey6
Попробуйте через метод множителей Лагранжа

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1442945 писал(а):

isf_litsey6
Попробуйте через метод множителей Лагранжа

Совет, данный по принципу: "Ничего умного в голову не пришло, но руки что-нибудь написать чесались".
Если уж использовать методы математического анализа, то разумнее сразу с помощью линейного условия исключить одно из переменных и перейти к безусловному экстремуму. Но и в этом случае решить нелинейную систему о нуле градиента не удастся.
Любому сколько-нибудь искушенному человеку ясно, что нужно обыгрывать симметрию, а не пользоваться бесполезными здесь общими методами.

[Sicker]

Brukvalub
В случае множителей Лагранжа получается симметричная система из трех уравнений с тремя неизвестными, для которой подбирается очевидное решение. Дальше можно показать, что это минимум, рассмотрев граничные точки, где одно из значений равно нулю (там уходит произведение)

[nnosipov]

Brukvalub в сообщении #1442959 писал(а):

Но и в этом случае решить нелинейную систему о нуле градиента не удастся.

В данном случае вполне удастся, потому что левые части факторизуются (один множитель линейный, другой квадратичный). Все корни --- рациональные точки, лежащие в нужном треугольнике. На границе этого треугольника тоже все хорошо (граничная функция факторизуется и оказывается неотрицательной).

Иными словами, эта задача --- не самый запущенный случай для общего подхода.

[Brukvalub]

В таком случае, я признаю несправедливость своей претензии к сути предложенного Sicker метода решения.
Остается понять, на какой олимпиаде была дана задача. Если это школьная олимпиада, то как школьник мог узнать о методе множителей Лагранжа?

[isf_litsey6]

эта задача из олимпиады школьников 9-10 класса

[Sasha2]

Это неравенство преобразуется вот к такому:

$a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b)\geqslant 0$

Ничего оно Вам не напоминает?

[isf_litsey6]

Sasha2 в сообщении #1443144 писал(а):

Это неравенство преобразуется вот к такому:

$a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b)\geqslant 0$

Ничего оно Вам не напоминает?

в силу симметричности если считать что $a\geqslant b\geqslant c$
второе слагаемое всегда отрицательно

[TR63]

isf_litsey6 в сообщении #1442931 писал(а):

после преобразований$ a^4+b^4+c^4+a^2bc+b^2ac+c^2ab \geqslant a^3b+a^3c+b^3a+b^3c+c^3a+c^3b$

isf_litsey6 в сообщении #1443227 писал(а):

в силу симметричности если считать что $a\geqslant b\geqslant c$

Если сделать замену $b=xa$, $c=ya$, то получится неравенство

$$[1-x-y+xy]+[x^4-(1+y)x^3+yx^2]+[(y^2-y^3)x+y^4-y^3]\ge0$$

Разложив выражения в квадратных скобках на множители, переходим к очевидному усиленному $(1-x)(1-y)-(1-x)(x-y)[x^2-y^2]\ge0$

[Sasha2]

isf_litsey6 в сообщении #1443227 писал(а):

Sasha2 в сообщении #1443144 писал(а):

Это неравенство преобразуется вот к такому:

$a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b)\geqslant 0$

Ничего оно Вам не напоминает?

в силу симметричности если считать что $a\geqslant b\geqslant c$
второе слагаемое всегда отрицательно

Может проще, открыть учебник и увидеть, что это неравенство Шура.

[FL91]

Sasha2 в сообщении #1443267 писал(а):

Может проще, открыть учебник и увидеть, что это неравенство Шура.

Какой учебник? Например, я такого неравенства не встречал. Не попадалось в учебниках. По работе встречал, например, лемму Шура (о представлениях), теорему Шура об Адамаром произведение матриц.
Так где это обязательная штука? Что за учебник?

[Sasha2]

FL91 в сообщении #1443288 писал(а):

Sasha2 в сообщении #1443267 писал(а):

Может проще, открыть учебник и увидеть, что это неравенство Шура.

Какой учебник? Например, я такого неравенства не встречал. Не попадалось в учебниках. По работе встречал, например, лемму Шура (о представлениях), теорему Шура об Адамаром произведение матриц.
Так где это обязательная штука? Что за учебник?

Такое Вам не подойдёт?

https://en.wikipedia.org/wiki/Schur%27s_inequality

[FL91]

Sasha2 в сообщении #1443293 писал(а):

Такое Вам не подойдёт?
https://en.wikipedia.org/wiki/Schur%27s_inequality

Всё подайдёт. Это учебник? Вы написали.

Sasha2 в сообщении #1443267 писал(а):

Может проще, открыть учебник и увидеть, что это неравенство Шура.

Жду его.

[Sasha2]

Пожалуйста, вот вам и учебники:

https://b-ok.cc/s/Zdravko%20Cvetkovski

https://b-ok.cc/book/3509207/6f5bd5

https://b-ok.cc/book/1300831/c43513

https://vk.com/doc126754362_450507794?h ... a6eea3a2f1

https://b-ok.cc/book/655067/cd8870

Учитесь на здоровье