Интеграл от R(sin x, cos x)

[Rusit8800]

В задачниках по математическому анализу часто пишут, что при выполнении следующих условий нужно делать нижеперечисленные замены:

$$\[\begin{array}{l} R\left( { - \sin x;\cos x} \right) = - R\left( {\sin x;\cos x} \right) \Rightarrow t = \cos x;x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\\ R\left( {\sin x; - \cos x} \right) = - R\left( {\sin x;\cos x} \right) \Rightarrow t = \sin x;x \in \left( {0;\pi } \right)\\ R\left( { - \sin x; - \cos x} \right) = R\left( {\sin x;\cos x} \right) \Rightarrow t = \tan x;x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \end{array}\]$$

Никак не могу понять их смысл. Куда копать?

[ИСН]

Ну смотрите. Безотносительно к этим правилам, например, как бы Вы брали интеграл $\int\sin x\cos^2x\;dx$?

[Rusit8800]

Очень просто:

$$\[\int {\sin x{{\cos }^2}xdx = - \int {{{\cos }^2}xd(\cos x) = - \frac{{{{\cos }^3}x}}{3}} } + C\]$$

[ИСН]

Ну да, просто. А как Вы узнали, что под дифференциал надо запихивать синус, а не косинус, например? Понятно, что очевидно. А как это словами сказать?

[Rusit8800]

Ну вообще говоря, я это сделал, опираясь на опыт и интуицию. Никаких предварительных размышлений я здесь не проводил.
Косинус впихивать в дифференциал я бы не стал, так как он под квадратом.
Больше сказать нечего.

[Sonic86]

Здесь на самом деле умалчивается одна вещь.
Пусть $f$ - функция. Обозначим $|f|$ - число узлов в дереве формулы, представляющей функцию $f$.
Эта подстановка желательна для $\int f(x)dx$ при условии $|R|<|f|$. Вот что скрывается за словом "желательно" сказать трудно. Но в любом случае, это лучше, чем говорить что-то про интуицию.

[ИСН]

Понятно, что интуитивно понятно! Ну вот это понимание и формализовано в тех правилах, ничего более глубокого там нет.

[Rusit8800]

Sonic86 в сообщении #1440445 писал(а):

$|f|$ - число узлов в дереве формулы, представляющей функцию $f$.

Что такое число узлов?

Sonic86 в сообщении #1440445 писал(а):

$|R|<|f|$

Что такое $R$?

ИСН в сообщении #1440448 писал(а):

Ну вот это понимание и формализовано в тех правилах, ничего более глубокого там нет.

Хм. А существуют ли примеры, когда применение этих правил не приводит к "приятным" вычислениям, то есть ,скажем, если выполнено условие
$R\left( { - \sin x;\cos x} \right) = - R\left( {\sin x;\cos x} \right) $, то замена $t = \cos x$ приведет к бОльшим проблемам с вычислениями, чем, скажем, $t = \sin x$. Иными словами, несут ли правила вероятностный характер : такая замена поможет с большой вероятностью, но меньшей $1$.

[Sonic86]

Rusit8800 в сообщении #1440451 писал(а):

Хм. А существуют ли примеры, когда применение этих правил не приводит к "приятным" вычислениям, то есть ,скажем, если выполнено условие

$I:=\int f(x) dx $, $f(x):=x$
Ясно, что $f(x)=x=R(\sin x, \cos x)= \arcsin \sin x$. $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$.
Значит $t = \cos x, \sin x = \sqrt{1-t^2}$, $dt = \sin x dx = \sqrt{1-t^2}dt$. Получаем
$I = \int \sqrt{1-t^2} \arcsin (\sqrt{1-t^2}) dt$

Rusit8800 в сообщении #1440451 писал(а):

Что такое число узлов?

Ну число вершин в графе (который дерево), который задает $f(x)$.

Rusit8800 в сообщении #1440451 писал(а):

Что такое $R$?

Rusit8800 в сообщении #1440435 писал(а):

$$R\left( { - \sin x;\cos x} \right) = - R\left( {\sin x;\cos x} \right) \Rightarrow t = \cos x;x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$$

[ИСН]

Вы же сразу видите, что в моём интеграле не надо было запихивать косинус под дифференциал? Что при этом вышло бы нехорошо, с корнями и фигнёй? Вероятностно ли это предвидение? Ну вот и в общем случае так же.

[RIP]

Смысл очень простой. Можно доказать, что, например, в первом случае $R(\sin x,\cos x)=\sin x\cdot S(\sin^2x,\cos x)$ для некоторой рациональной функции $S$, поэтому после замены $t=\cos x$ получается интеграл от рациональной функции: $\int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm{d}x=-\int S(1-t^2,t)\,\mathrm{d}t$. Аналогично в остальных случаях. Часто интеграл получается проще, чем если делать через универсальную тригонометрическую подстановку (попробуйте посчитать $\int\frac{\sin^5x}{\cos^{10}x}\,\mathrm{d}x$, например).

[ewert]

В первом случае всё совсем просто. Условие $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ -- это слегка замаскированное условие нечётности подынтегральной функции. Если из неё выделить синус как отдельный множитель, то оставшаяся часть функции станет чётной и, следовательно, выражается только через косинусы. Это верно хотя бы потому, что рационально-тригонометрическое выражение можно представить как рациональную дробь от тангенса половинного угла. Сам по себе тангенс нечётен, поэтому многочлены и в числителе, и в знаменателе должны содержать только чётные степени. Но квадрат тангенса половинного угла рационально выражается через просто косинус.

Второй случай сводится к первому заменой $x=\frac{\pi}2-y$.

В третьем случае условие сводится ровно к тому, что $\pi$ является периодом подынтегральной функции. Однако у тангенса половинного угла период -- это $2\pi$, поэтому функция должна выражаться через просто тангенс.

[artempalkin]

Sonic86

Мне кажется, что под R обычно все же подразумевается рациональная дробь. Произвольные функции от синуса могут непредсказуемо влиять на четность , к примеру, и, конечно, ни к чему хорошему замена может и не привести.

-- 28.02.2020, 23:34 --

ewert

Отличное объяснение, возьму на заметку!

[Sonic86]

artempalkin в сообщении #1442147 писал(а):

Мне кажется, что под R обычно все же подразумевается рациональная дробь

Ну я не телепат, в стартовом посте на $R$ ограничений нет.

[Munin]

Sonic86
Это не телепатия, это типичное обозначение для таблиц интегралов. Например, Выгодский, Градштейн-Рыжик, Прудников-Брычков-Маричев.
Ещё часто употребляется $P(x,\ldots)$ - полином.