Икс для функции распределения

[log_evgenyi]

Если $\mho =\left [ 0,1 \right ]$ множество элементарных исходов, с борелевской сигма алгеброй. Какие значения x может принимать функция распределения сл. величины? Если например элементарный исход $\left \{ \left ( 0,0.5 \right ) \right \} $, то чему равен $x$,0,5 ? Если $\left \{ 0.3 \right \} $, то $0.3$?

[Someone]

log_evgenyi в сообщении #1437201 писал(а):

Какие значения x может принимать функция распределения сл. величины?

Функция распределения случайной величины определена не на множестве элементарных исходов, а на множестве действительных чисел $\mathbb R$. Соответственно, в функции распределения $F(x)$ переменная $x$ обозначает любое действительное число. Совершенно независимо от того, что представляют собой элементарные исходы.

[log_evgenyi]

Someone в сообщении #1437211 писал(а):

log_evgenyi в сообщении #1437201 писал(а):

Какие значения x может принимать функция распределения сл. величины?

Функция распределения случайной величины определена не на множестве элементарных исходов, а на множестве действительных чисел $\mathbb R$. Соответственно, в функции распределения $F(x)$ переменная $x$ обозначает любое действительное число. Совершенно независимо от того, что представляют собой элементарные исходы.

А как это понимать?$\varepsilon \left ( \omega \right )= sup\left \{\left x\mid F\left ( x \right )< \omega \right \right \} $
В смысле численного выражения $\omega $ это элементарный исход в отрезке 0,1

[mihaild]

log_evgenyi в сообщении #1437219 писал(а):

$\varepsilon \left ( \omega \right )= \sup\left \{\left x\mid F\left ( x \right )< \omega \right \right \} $

Что такое $\varepsilon$ здесь?
И напишите на всякий случай определения вероятностного пространства, случайной величины и функции распределения, которыми вы пользуетесь.

[--mS--]

log_evgenyi в сообщении #1437219 писал(а):

А как это понимать?$\varepsilon ( \omega )= \sup \{ x\mid F( x )< \omega \} $
В смысле численного выражения $\omega $ это элементарный исход в отрезке 0,1

Это - способ построить на вероятностном пространстве $\Omega=[0,1]$ с борелевской сигма-алгеброй и мерой Лебега в качестве вероятности случайную величину $\xi(\omega)$ с заранее заданной функцией распределения $F(x)$.

Дано: вероятностное пространство, которое описано выше.
Дано: функция $F(x)$, удовлетворяющая трём свойствам: неубывающая на $\mathbb R$, имеющая нулевой предел на минус бесконечности и единичный на плюс бесконечности, непрерывная в любой точке слева (или справа, если Вы на тёмной стороне силы).

Построить: измеримую функцию $\xi:\Omega \to \mathbb R$ такую, что для любого $x\in\mathbb R$

$$ F(x) = \mathsf P(\xi<x). $$

(или $F(x) = \mathsf P(\xi\leqslant x)$, в зависимости от определения).

Ответ:

$$ \xi(\omega) = \sup\{x\in \mathbb R\,:\, F(x) <\omega\} $$

Называется это квантильным преобразованием, квантильной функцией, обратным преобразованием (https://en.wikipedia.org/wiki/Quantile_function, https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... m_sampling). Смотреть на это нужно так: рисуем график функции $F$, значения которой принадлежат $[0,\,1]$. По оси ординат располагается этот отрезок. Это и есть $\Omega$. Из каждой точки $\omega$ проводим прямую до графика и опускаем на ось абсцисс. Результат - случайная величина с данной функцией распределения.

[log_evgenyi]

Спасибо. Максимально доступно объяснили.