Может ли быть натуральным такое число?

[serval]

Пусть имеются два натуральных числа $l,r \in N,\ l>r$

Число $m$ имеет вид

$m = \displaystyle \frac{l+r}{r} - \displaystyle \frac{l}{l+r}$

Может ли число $m$ быть натуральным?

[nnosipov]

Нет, не может.

[serval]

Спасибо. Не могли бы вы это показать? Или подсказать откуда это следует?

[nnosipov]

План доказательства такой:

Сначала приведите выражение для $m$ к общему знаменателю. Затем сократите дробь на $d=\gcd{(l,r)}$. Наконец, докажите, что полученная после сокращения дробь будет несократимой.

[serval]

Спасибо.
Перед отправкой поста мне казалось, что я что-то забыл, но вспомнить не смог. Вспомнил после вашего ответа: числа $l$ и $r$ взаимно простые по условию.

Значит, достаточно доказать, что дробь $\displaystyle \frac{l^2+lr+r^2}{lr+r^2}$ несократима?

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #1433961 писал(а):

Затем сократите дробь на $d=\gcd{(l,r)}$.

Сократить нужно, конечно, на $d^2$.

[nnosipov]

serval в сообщении #1433962 писал(а):

Значит, достаточно доказать, что дробь $\displaystyle \frac{l^2+lr+r^2}{lr+r^2}$ несократима?

Да, разумеется.

[serval]

Спасибо за разъяснения, сразу стало проще.