Допустимо ли графическое решение?

[Twidobik]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Будьте добры, пожалуйста, подскажите мне в следующем вопросе.

Является ли "графический способ" решения уравнения (неравенства) достаточным для того, чтобы считать уравнение (неравенство), собственно, решенным?
В школьных учебниках часто предлагается решать различные задания именно таким способом, однако как-то раз я прочитал (честно говоря, не припомню где), что графическая иллюстрация (чертеж) является только вспомогательным инструментом при решении и ее ни в коей мере не достаточно.

Приведу в пример конкретную ситуацию, чтобы было ясно, о чем речь.

Имеется следующее задание: "Решите уравнение $2^x=3x-1$
Решающий изображает декартову систему координат, чертит экспоненту и прямую линию, обозначает точки пересечения графиков, выписывает их и пишет общий ответ. Всё.
Вопрос: правильно ли такое решение? Достаточно ли его?

Мое мнение - нет. С помощью графиков функций мы не доказываем, что других точек пересечения нет, как бы это ни было очевидно из чертежа. Подобные уравнения необходимо решать, например, с использованием производной, поиска точек экстремума и т.д.

Спасибо за помощь!

P.S. Добавлю, что речь идет, допустим, о вступительном испытании, а не о программе 10-ого класса, где учатся строить график степенных функций.

[Otta]

Twidobik в сообщении #1430174 писал(а):

Достаточно ли его?

Вообще говоря, нет. Так можно потерять корни.
Графические решения хороши - и то на прикидочном этапе, - когда уравнения имеют вид $2^x=3-x$. Но дальше единственность все равно обосновывается, в данном случае из монотонности.

[Twidobik]

Otta, благодарю за ответ. Как Вы считаете, если решающий привел такое вот решение, но дал правильный ответ, решение следует считать неправильным? Или неполным? Как оценить такое решение, на Ваш взгляд?

[arseniiv]

Смотря что означают «неправильное» и «неполное». Я бы решил, что неполным: явно какие-то полезные для получения ответа действия сделаны были, но не все, однако притом возможно вообразить контекст, где этого вполне достаточно (или когда достаточных знаний не может быть, а задача была поставлена с целью иметь как раз такое хоть как-то близкое к полноте решение; или когда все понимают, какие надо доделать вещи, а чертёж — как схема доказательства). Примером неправильного решения (с так же правильным ответом; и снова же лишь на мой взгляд) тут могло бы быть например построение графиков не тех функций, но по счастью пересекающихся в тех же точках (или дающих ту же область etc.), которые должны быть.

[Otta]

По сути, решение = угадывание корня. Где-то один балл из пяти при отсутствии обоснования единственности.

[Farest2]

Пример в тему: "Сколько корней у уравнения $(\tfrac{1}{16})^x=\log_{1/16}x$?". Если не знать "фольклора" и не чувствовать подвоха, то графическое решение (от руки, конечно) даст неправильный ответ.