Доказать монотонность

[Усталый]

Как можно доказать, что $ f(x) = \tg x $ монотонно возрастает на $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $?

[id]

Усталый
Из формулы тангенса разности, например, можно попробовать.

[Усталый]

id писал(а):

Из формулы тангенса разности, например, можно попробовать.

Если честно, то не понимаю как. Может быть Вы имели ввиду разность тангенсов? Тогда можно, в принципе, это сделать ($ 0 < x_1 < x_2 < \pi $): $ \tg x_1 - \tg x_2 = \frac{\sin (x_2 - x_1)}{\cos x_2 \cos x_1} $ и отсюда $ \tg x_2 - \tg x_1 > 0 $.

Но я точно не уверен, что предполагась такое решение, может быть как-то с помощью метода математической индукции?

[id]

Усталый
Нет, предполагалось именно то, что Вы написали.

[Бодигрим]

Усталый в сообщении #142902 писал(а):

Но я точно не уверен, что предполагась такое решение, может быть как-то с помощью метода математической индукции?

Метод матиндукции сложно (а в чистом виде - невозможно) применять к несчетным множествам аргументов.

[ewert]

Усталый писал(а):

Как можно доказать, что $ f(x) = \tg x $ монотонно возрастает на $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $?

Странный вопрос. Синус возрастает, косинус убывает, вот и всё.

Или имелось в виду, как доказать монотонность синуса (а тогда и косинуса)? Ну, на это ответить трудно. Сначала надо уточнить, что именно считается формальным определением синуса.

[ShMaxG]

А производную не судьба взять? На всей области определения положительна...

[Профессор Снэйп]

Если прилежащий катет фиксирован, то длина противолежащего катета возрастает с ростом угла.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Если прилежащий катет фиксирован, то длина противолежащего катета возрастает с ростом угла.

Это, в принципе, приемлемо, но -- с точностью до одной оговорки: монотонность тангенса доказана ровно настолько, насколько обосновано само геометрическое определение тангенса, т.е., собственно, понятие угловой меры. А с этим некоторая морока.

Почему исходный вопрос и кажется странным.

[Усталый]

Я не уверен, что можно пользоваться производной. Хотя что-то я и не нахожу особых причин на то, чтобы отказаться от этого способа доказательства. На этом и остановлюсь.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Это, в принципе, приемлемо, но -- с точностью до одной оговорки: монотонность тангенса доказана ровно настолько, насколько обосновано само геометрическое определение тангенса, т.е., собственно, понятие угловой меры. А с этим некоторая морока.

Почему исходный вопрос и кажется странным.

Ну... если брать более-менее стандартную последовательность, согласно которой молодые россияне знакомятся с возможными способами задания тригонометрических функций, то как раз всё нормально. Сначала в школе, классе в восьмом, все узнают, что тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему. А уже потом те из них, кто продолжает изучать математику в ВУЗе, узнают про степенные ряды для синуса и косинуса и, как следствие, получают возможность определить через отношение этих функций тангенс. Продолжая учиться далее, они обнаруживают, что к тому же самому можно прийти, определяя синус и косинус как решения задачи Коши для неких дифференциальных уравнений второго порядка. Попутно им становится известно, что эти самые синус и косинус есть не что иное, как мнимая и действительная компоненты аналитического продолжения экспоненты на комплексную плоскость в случае, когда аргументы берутся вдоль мнимой оси. Наконец, те из них, кто решается специализироваться в какой-нибудь из областей непрерывной математики, открывают для себя ещё какие-нибудь способы задания тригонометрических функций, которые неизвестны Профессору Снэйпу, всю жизнь прозанимавшемуся математической логикой и ни бельмеса в матане не шарящему...

Возможно, где-нибудь во Франции в связи с засильем бурбакизма всё идёт в совершенно обратном порядке. Однако форум у нас всё же русскоязычный, так что нам будет более естественно ориентироваться на российские стандарты. Ну а раз так, то при ответе на вопрос о тангенсе лучше аппелировать к наиболее раннему, геометрическому, определению этой функции, занимающему среди других альтернатив первое место по известности среди умеющего писать по-русски населения планеты. То есть к тому определению, которым с наибольшей вероятностью владеет автор этой замечательный темы, задавший вызвавший столь бурное обсуждение вопрос.