Множество значений функции

[Усталый]

Есть функция $ g(x) = \frac {2x} {1 + x^2} $.
Как можно доказать, что множество значений $ g(x) $ равно $ [-1, 1] $?

[id]

Функция непрерывна, множество значений связано. Т.е., принимая значения +1, -1 она принимает любое промежуточное.

Точки 1\-1 можно найти, продифференциировав и происследовав на экстремумы.

[Усталый]

А нет более простого способа? Это вообще-то я взял из задачника Демидовича, оригинал был такой:

Цитата:

Определить области существования и мн-во значений следующих функций:
...
$ y = \arccos \frac{2x}{1 + x^2} $
...

Дело в том, что задача в одном из первых разделов («Понятие функции»), до определения понятия производная и, тем более, интеграла (т.е. разделы на дифференцирование и интегрирование с краткой справкой на эти понятия приведены в последующих разделах). Какая-то несостыковка.

[Brukvalub]

Приравняйте Вашу функцию к числу у и проанализируйте, при каких у разрешимо относительно х получившееся уравнение.

[id]

Усталый
Есть и более простой.
Просто убедиться, что $|\frac {2x} {1+x^2}| \leqslant 1$, причем очевидно легко находятся точки, в которых функция равна +1\-1, ну а дальше исходя из непрерывности получаем, что все значения из отрезка [-1,1] принимаются.

[bubu gaga]

Не проще ли решить квадратное уравнение, и посмотреть условие на неотрицательный дискриминант

$$ \frac{2x}{1 + x^2} = c $$

[Brukvalub]

Brukvalub в сообщении #142772 писал(а):

Приравняйте Вашу функцию к числу у и проанализируйте, при каких у разрешимо относительно х получившееся уравнение.

bubu gaga в сообщении #142774 писал(а):

Не проще ли решить квадратное уравнение, и посмотреть условие на неотрицательный дискриминант

$$ \frac{2x}{1 + x^2} = c $$

А теперь найдите хотя бы 1 отличие.

[bubu gaga]

Brukvalub писал(а):

Brukvalub в сообщении #142772 писал(а):

Приравняйте Вашу функцию к числу у и проанализируйте, при каких у разрешимо относительно х получившееся уравнение.

bubu gaga в сообщении #142774 писал(а):

Не проще ли решить квадратное уравнение, и посмотреть условие на неотрицательный дискриминант

$$ \frac{2x}{1 + x^2} = c $$

А теперь найдите хотя бы 1 отличие.

Просмотрел , у Вас было самое короткое сообщение

[Бодигрим]

id в сообщении #142770 писал(а):

Точки 1\-1 можно найти, продифференциировав и происследовав на экстремумы.

Проще всего проверить достижение $\pm1$ следующим образом:

Как известно из школьной программы, неравенство Коши $|a+b|\ge 2\sqrt{ab}$ обращается в равенство только при $a=b$. Отсюда при $a=1$, $b=x^2$ получим, что $|2x|\le 1+x^2$ и равенство достигается лишь при $x^2=1$.