Минимизировать значение выражения

[daniel starodubtsev]

Пусть $x, y, z$ - вещественные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение $\sqrt{4 + x^2} + \sqrt{4+(x-y)^2}+\sqrt{4+(y-z)^2}+\sqrt{4+(2-z)^2}$?

Ясно, что это сумма расстояний на графике между некоторыми точками (которые все лежат на прямой $y=2$) до точки (0;0), при этом их можно и передвинуть и поменять местами их координаты, но вот как все-таки решить задачу пока не додумался. Просьба помочь/подсказать.

[DeBill]

daniel starodubtsev в сообщении #1427222 писал(а):

сумма расстояний на графике между некоторыми точками (которые все лежат на прямой $y=2$) до точки (0;0),

Так интерпретировать это можно, но радости от этого - никакой.
Интереснее было бы, если все эти корни воспринимать как расстояния между соседними точками ломаной...
Тогда надо, чтобы игрек-координаты соседних точек различались бы ровно на 2....

[Dmitriy40]

Численный эксперимент показывает что минимум достигается при $x=0{,}5, y=1, z=1{,}5$. Соображения симметрии тоже на это намекают. Но это всё не доказательство.

[waxtep]

Можно эти корни один за другим развернуть: сначала заметить, что какими бы ни были в минимуме $x,z$, обязательно будет $y=\frac{x+z}2$; затем, повторить этот трюк еще два раза и придти к $x,y,z$ как у Dmitriy40

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1427255 писал(а):

Численный эксперимент показывает ... Но это всё не доказательство.

Если взять систему компьютерной алгебры, то будет не только ответ, но и доказательство, причем самым наистандартным образом. Впрочем, ТС может захотеть школьного решения, но тогда придется помучиться.

[EUgeneUS]

После подсказки уважаемого DeBill всё становится почти очевидно.
Если умножить на $-1$ то, что в скобках во втором и третьем корне, становится совсем очевидно.

-- 23.11.2019, 09:42 --
Del

[daniel starodubtsev]

DeBill
Dmitriy40
waxtep
nnosipov
EUgeneUS

Спасибо, все стало ясно!