Шарик прыгает на движущейся пластинке

[agal]

На плиту за время $T$ действует суммарная сила $Ma-µМg$ обеспечивая системе "шарик-плита" модуль среднего импульса по горизонтали равный $V(M+m)$, следовательно:$(Ma-µМg)T= V(M+m)$ или

$$Ma-µМg = \frac{V}{T}(M+m)\eqno(1)$$

Расстояние, проходимое плитой с ускорением $a$ за время $T$ равно $S_1=\frac{aT^2}{2}$. За это же время система "шарик-плита" проходит с постоянной средней скоростью $V$ расстояние $S_2=VT$. Из условий задачи расстояния $S_1$ и $S_2$ равны, следовательно $\frac{aT^2}{2}=VT$. Откуда $T=\frac{2V}{a}$. Подставляя данное значение $T$ в (1) находим, что $Ma-µМg=\frac{a}{2}(M+m)$. После преобразований:

$$m=M(1-2µ\frac{g}{a})$$

[EUgeneUS]

agal
Что будет, если на плите прыгает шарик с большей массой?
И двойка лишняя.

[realeugene]

agal в сообщении #1425798 писал(а):

суммарная сила $Ma-µМg$

У вас странные обозначения. Распишите, что в ваших выкладках обозначает каждая буква?

[rascas]

Предлагаю такой подход к решению этой задачи.
Так как не указана ни высота прыжков шарика, ни частота его прыжков. Предлагаю устремить частоту прыжков шарика в бесконечность, соответственно высота прыжков шарика станет нулевой (шарик ляжет на пластину).
Т.о. задача сводится к нахождению массы груза $m$, который надо установить на пластину $M$, чтобы скорость движения $M+m$ стала постоянной.

[realeugene]

rascas в сообщении #1425831 писал(а):

Т.о. задача сводится к нахождению массы груза $m$, который надо установить на пластину $M$, чтобы скорость движения $M+m$ стала постоянной.

В данном случае, этот предельный переход некорректен. Точнее, для массы шарика большей пороговой он будет давать всегда нулевую скорость движения пластинки. А для скачущего шарика пластинка будет двигаться с ненулевой скоростью.

[wrest]

rascas
Хороший метод
Предлагаю альтернативу: шариков много, массы их $m_i$ и прыгают они в каком-то ограниченном по периметру (ну скажем цилиндром без верха) пространстве. Тогда они будут создавать средний вес равный $\sum gm_i$ что приводит нас к такому же решению как и у вас.

[agal]

EUgeneUS в сообщении #1425803 писал(а):

Что будет, если на плите прыгает шарик с большей массой?
И двойка лишняя.

Поскольку задача действительно не вполне корректна (не указаны начальные физические причины подобного движения), то случай c "большей массой шарика" надо рассматривать отдельно. А двойка обусловлена предположением постоянства ускорения $a$.

realeugene в сообщении #1425821 писал(а):

Распишите, что в ваших выкладках обозначает каждая буква?

$M$ - масса плиты, $a$ - ускорение плиты в одном цикле движения за время $T$ одного подпрыгивания шарика, $\mu$ - коэффициент трения, $g$ - ускорение земного тяготения, $m$ - масса шарика, $V$ - постоянная средняя скорость движения плиты с прыгающим на ней шариком.

[realeugene]

agal в сообщении #1425798 писал(а):

обеспечивая системе "шарик-плита" модуль среднего импульса по горизонтали равный $V(M+m)$,

С какой стати? При массе шарика, равной пороговой скорость движения пластинки может быть произвольной.

[agal]

realeugene в сообщении #1425840 писал(а):

С какой стати?

Означенный средний импульс дает разность тянущей силы $F$ и силы трения умноженная на время $T$.

realeugene в сообщении #1425840 писал(а):

При массе шарика, равной пороговой

Что означает пороговая масса и каков критерий ее нахождения?

[EUgeneUS]

1.

agal в сообщении #1425798 писал(а):

На плиту за время $T$ действует суммарная сила $Ma-µМg$

У Вас тут ошибка в том, что одна "М" - русская и не отображается латехом.

-- 14.11.2019, 08:45 --

2.

agal в сообщении #1425798 писал(а):

На плиту за время $T$ действует суммарная сила

Не бывает "суммарных сил за время $T$". Если Вы хотели сказать, что "в течение времени $T$ на плиту действует сила... (далее по тексту)", то в данной задаче это не совсем точно. Такая сила будет действовать на плиту всё время $T$ за исключением момента удара.

-- 14.11.2019, 08:49 --

3.

agal в сообщении #1425798 писал(а):

обеспечивая системе "шарик-плита" модуль среднего импульса по горизонтали равный $V(M+m)$,

Эта сила, конечно, передаст "системе шарик-плита" некий импульс.
Но
а) См. пункт два выше. Этот импульс не будет полным импульсом переданным системе за полный период $T$.
б) С чего это Вы взяли, что этот импульс будет $V(M+m)$.То есть распределится между шариком и плитой каким-то специальным образом?
Гораздо проще и логичнее считать, что удары шарика абсолютно упруги и передачи импульса между ним и плитой в горизонтальном направлении не происходит.

-- 14.11.2019, 08:51 --

4.

agal в сообщении #1425843 писал(а):

Что означает пороговая масса и каков критерий ее нахождения?

см. ранее:

EUgeneUS в сообщении #1425803 писал(а):

Что будет, если на плите прыгает шарик с большей массой?

просто подумайте, на качественном уровне, пока без формул, что произойдет, если будет прыгать оооочень тяжелый шарик. Кузнечный молот, например.

[agal]

EUgeneUS в сообщении #1425881 писал(а):

У Вас тут ошибка в том, что одна "М" - русская и не отображается латехом.

Спасибо за подсказку. Исправляю, конечно....$Ma-µMg$ и соответственно $(Ma-µMg)T= V(M+m)$

EUgeneUS в сообщении #1425881 писал(а):

просто подумайте, на качественном уровне, пока без формул, что произойдет, если будет прыгать оооочень тяжелый шарик. Кузнечный молот, например.

Задача не вполне "физична", как верно было замечено выше realeugene. Поэтому в случае полной идеализации, шарик может быть любой массы. При этом за бесконечно малое время удара он передает бесконечно малый импульс плите, которая при условии $Ma=µMg$ в течение неопределенно долгого промежутка времени может двигаться с постоянной скоростью любой величины, определяемой условиями того, как изначально будут разгоняться плита и шарик.

[realeugene]

agal в сообщении #1425843 писал(а):

Что означает пороговая масса и каков критерий ее нахождения?

Если вы хотите задавать вопросы в ПРР, создайте свою тему и задавайте. Или хотя бы разберитесь в том, что тут писали другие раньше.

[EUgeneUS]

agal в сообщении #1425892 писал(а):

При этом за бесконечно малое время удара он передает бесконечно малый импульс плите,

Неверно.
В вертикальном направлении: как же он может передать бесконечно малый импульс плите, если его скорость меняет направление на противоположное? Очевидно, что плите (за бесконечно малое время удара) он передаст импульс $2m\vec{V}$, где $\vec{V}$ - скорость шарика непосредственно перед ударом.

Более подробно подумайте, что же происходит в горизонтальном направлении.

[guryev]

rascas в сообщении #1425831 писал(а):

задача сводится к нахождению массы груза $m$, который надо установить на пластину $M$, чтобы скорость движения $M+m$ стала постоянной.

Отличная мысль.

Распишем формально.

Итак, время между ударами $T$, время удара $t$, скорость шарика перед ударом $V$. Тогда импульс, который шарик передаёт пластине за один удар, равен $p=2mV+mgt$. Поскольку $V=g\frac{T}{2}$, $p=mg(t+T)$. Но один удар как раз случается за время $T+t$.

То есть, за период прыжков шарик передаёт пластине тот же импульс, как если бы просто лежал на ней всё время. Тут даже предельные переходы не нужны. Выходит, средняя прибавка к весу пластины из-за шарика за время $T+t$ просто равна весу шарика. А сила трения пропорциональна весу. Значит, можно просто считать шарик грузом, лежащим на пластине.

[EUgeneUS]

guryev в сообщении #1425904 писал(а):

А сила трения пропорциональна весу. Значит, можно просто считать шарик грузом, лежащим на пластине.

Я вот все жду, когда пластина поползет с сторону, противоположную приложенной силе $\vec{F}$.
Похоже, что скоро дождусь.

(хинт)

Сила трения НЕ пропорциональна весу в общем случае. Даже в общем случае из школьной программы.