Гомологии при отображениях

[Nickspa]

1) $f:T^2\to T^2$ такое, что $H_1(T^2,\mathbb{Z})\to H_1(T^2,\mathbb{Z})$ задаётся матрицей $A_{2\times 2}$. Доказать, что $H_2(T^2,\mathbb{Z})\to H_2(T^2,\mathbb{Z})$ - это умножение на $\det A$

Единственная мысль - задать тор как объединение двух множеств, тогда отображение $f$ индуцирует отображение между последовательностями Майера-Виеториса.
Но не выходит. Разбиение на тор с дыркой и заплаткой вообще бесполезное.
А на два цилиндра не получается. Может как-то по-другому надо?

[Nickspa]

Само отображение легко подбирается.
$e^{i\varphi}\times e^{i\Psi}\to e^{i (b\psi +a\varphi)}\times e^{i (d\psi +c\varphi)}$
Может ли это помочь?

[iou]

Nickspa в сообщении #1420345 писал(а):

Само отображение легко подбирается.
$e^{i\varphi}\times e^{i\Psi}\to e^{i (b\psi +a\varphi)}\times e^{i (d\psi +c\varphi)}$
Может ли это помочь?

Если Вы можете доказать, что любой эндоморфизм тора, который на первых гомологиях задаётся той матрицей, гомотопен такому отображению, то да.

Касательно вопроса: в гладкой науке нет разницы между когомологиями Бетти и когомологиями де Рама, поэтому можно использовать определение степени из гладкой науки, а с ним и доказывать нечего..
Если теорему де Рама использовать не хочется, то давайте заметим, что все целочисленные гомологии тора это свободные абелевы группы, поэтому никаких экстов не будет, следовательно $H^1 (T^2, \mathbb{Z}) = \operatorname{Hom}(H_1(T^2, \mathbb{Z}), \mathbb{Z}) = H_1(T^2, \mathbb{Z}).$ В качестве базиса в первых гомологиях стандартно выберем соотв. окружности, отсюда получим двойственный базис $f_1, f_2$ в первых когомологиях. Теперь предлагается понять, что элемент $f_1 \smile f_2$ является образующей вторых когомологий. Очень важное свойство когомологий состоит в том, что они функториальны не только на уровне градуированных компонент, а на самом деле на уровне алгебр, то есть отображение на когомологиях коммутирует с произведением (cup-product) в алгебре $H^* (T^2, \mathbb{Z}).$ Дальше, наверное, очевидно?
Для аккуратности, конечно, нужно сказать, что при отождествлении $H^1 (T^2, \mathbb{Z}) = H_1(T^2, \mathbb{Z})$ матрица оператора на первым гомологиях перейдёт в транспонированную, но на определитель это не повлияет.

[Nickspa]

Дело в том, что нам пока читали только сингулярные гомологии и последовательность Майера-Виеториса. Задание, скорее всего, на применение этой последовательности. С такими входными данными можно как-то задачу сделать?

[iou]

Совсем бесплатного способа не вижу. Можно так: сначала покажем, что эндоморфизмы тора с точностью до гомотопии классифицируются элементами целочисленной общей линейной группы, то есть матрицами из условия. Набросок доказательства такой: отображения в тор это то же самое, что пара отображений в окружности. А теперь заметим, что если мы как-то отобразили 1-остов тора в окружность, то до отображения всего тора это дело если и продолжается, то единственным (гомотопически) образом, примерно из-за того, что у окружности нет старших гомотопических групп.
Поэтому можно считать, что отображение из условия пришло из того отображения, которые Вы написали. Теперь нужно взять фундаментальный класс и для такого отображения по определению посмотреть куда он перейдёт.

[Nickspa]

Про фундаментальный класс пока тоже не рассказывали.
Я думаю будем считать что гомотопность таких отображений написанному мной доказана.
Геометрически я, вроде, представляю что здесь происходит. Тор "наматывается" на себя несколько раз. Видимо, $\det A$ раз (интуитивно, помню что $n$-мерный (здесь площадь поверхности тора) объём увеличивается в $\det A$).
Группа $H_2(T^2,\mathbb{Z})$ имеет образующую (цикл), который переводится в $\det A$-ый цикл. Наверное, что-то подобное и имеется ввиду когда говорится про фундаментальный класс?
Но как это сделать формально теми инструментами, что у меня есть в наличии?

[Nickspa]

Про отображения есть ещё пара задач. Может, с ними несколько проще?

Доказать, что для любого непрерывного $f:S^2\to T^2$ отображение $H_2(S^2)\to H_2(T^2)$ - нулевое.
А обратно существует такое $g:T^2\to S^2$, что $H_2(T^2)\to H_2(S^2)$ - изоморфизм.
Может, решив эти, и с отображениями торов станет яснее. Но с этими у меня тоже тупик.
Есть у кого мысли какие?

[iou]

Nickspa в сообщении #1420463 писал(а):

Про фундаментальный класс пока тоже не рассказывали.

Вам так или иначе как-то нужно выбрать образующую в старших гомологиях.

Nickspa в сообщении #1420463 писал(а):

Но как это сделать формально теми инструментами, что у меня есть в наличии?

Если ничего помимо определения нет, то по определению.

Nickspa в сообщении #1420669 писал(а):

Доказать, что для любого непрерывного $f:S^2\to T^2$ отображение $H_2(S^2)\to H_2(T^2)$ - нулевое.

Вы знаете что-нибудь про гомотопические группы? Как связаны гомотопические группы произвольного топологического пространства, например, с гомотопическими группами его универсального накрытия? Как тогда вычислить $\pi_2 (T^2)$? Теперь можно взять тор, стянуть у него два образующих цикла и взять композицию исходного отображения с этой проекцией. Про эту композицию можно что-то понять. Заодно можете посчитать степень проекции..
Хотя если Вы знаете немного что-то про теорию накрытий, то можете просто объяснить, почему отображение $f$ поднимается до отображения из сферы в универсальную накрывающую тора и понять что-то про это поднятие.

[Nickspa]

Я, кажется, продвинулся в решении.
Так как третьих гомологий у тора и сферы нет, то элементами вторых гомологий будут двумерные циклы.
Рассмотрим тор как квадрат $[0,1]\times [0,1]$ со склейкой сторон. Диагональю разобьём его на два треугольника $A,B$. В $A$ отправим один двумерный симплекс, в $B$ - второй. Отправим так, чтобы у цепи $A+B$ была нулевая граница. Получим двумерный цикл. Не могу только строго показать, что этот цикл будет именно образующей $H_2(T^2)$. Как это можно сделать?
Но для задачи с определителем это и не надо, так как гомоморфизм $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ достаточно задать на любом элементе (не обязательно на образующей). Вроде, с отображениями между торами решил, получается.
Далее, для сферы возьму тот же квадрат и его границу стяну в точку. Получу двумерный цикл.

Nickspa в сообщении #1420669 писал(а):

Доказать, что для любого непрерывного $f:S^2\to T^2$ отображение $H_2(S^2)\to H_2(T^2)$ - нулевое.

Здесь мне надо показать, что любое непрерывное отображение двумерного цикла сферы нельзя перевести в цикл тора. Здесь есть идея использовать теорему о клеточной аппроксимации (её нам доказывали в предыдущем курсе). То есть надо показать, что не существует клеточного отображения из сферы в тор, переводящего цикл сферы в цикл тора.
Беру сферу как объединение нульмерной и двумерной клеток. А тор - нульмерная, две одномерных и одна двумерная.
При клеточном отображении из сферы в тор нульмерная клетка переходит в нульмерную, а двумерная должна перейти в объединение двух одномерных и двумерной у тора. Почему так не может быть? Ведь образ открытого не обязан быть открытым.

Для отображения из тора в сферу проще. Нульмерная и одномерные клетки тора переходят в нульмерную клетку сферы, а двумерная в двумерную. Для того, чтобы это был изоморфизм, мне надо показать, что указанные циклы - образующие вторых гомологий. Как это сделать?
И где я что-то, может, упустил важное?

[Nickspa]

Вернулся к задаче. Осталось под вопросом только как показать, что не существует непрерывного сюръективного отображения $f:S^2\to T^2$. С клеточным отображением не выходит.

iou в сообщении #1420907 писал(а):

Хотя если Вы знаете немного что-то про теорию накрытий

Знаю немного. Универсальное накрытие тора $\mathbb{R}^2$.
Поднятие существует если $f_*(\pi_1(S^2))\subset p_*(\pi_1(\mathbb{R}^2))$.
$f_*(\pi_1(S^2))=0, p_*(\pi_1(\mathbb{R}^2))=0$. Значит, условие выполняется, и поднятие существует. Верно?

iou в сообщении #1420907 писал(а):

понять что-то про это поднятие

Вот понять что-то не могу. Поднятие тоже должно быть сюръекцией? Если так, то почему?

[vpb]

Nickspa в сообщении #1422298 писал(а):

Значит, условие выполняется, и поднятие существует. Верно?

Да, верно. Теперь всё просто. Отображение вторых гомологий должно пропускаться через накрытие, а вторые гомологии у накрытия какие ?

Nickspa в сообщении #1422298 писал(а):

Поднятие тоже должно быть сюръекцией?

Нет, конечно (это невозможно, т.к. плоскость некомпактна). Можете подумать, на что тут был намек...

[Nickspa]

vpb в сообщении #1422302 писал(а):

Отображение вторых гомологий должно пропускаться через накрытие

Это, вроде, понятно, т.к. $f_*=(p\widetilde{f})_*=p_*\widetilde{f}_*, \widetilde{f}_*=0$? Получается, обхожусь без сюръективности.

vpb в сообщении #1422302 писал(а):

на что тут был намек

Не понял намёка. В чём он был?