Сумма арифметической прогрессии второго порядка

[pro_noob]

Можно ли подсчитать сумму арифметической прогрессии второго порядка без суммирования всего ряда?
Конкретно, интересует сумма такой последовательности:
$1 + (1 + 2) + ... + (1 + 2 + ... + n)$

[iifat]

Как вариант — просуммировать сначала скобки, а потом внешнюю сумму.

[gris]

вообще, это последовательность сумм интересна. Это пирамидальные(?) числа. Можно из единичных кубиков складывать треугольную прямую пирамидку, а потом через её объём найти общую формулу.

[provincialka]

Непонятно, что значит "без суммирования всего ряда". Какой ряд имеется в виду? И почему он "весь"?

Можно переставить слагаемые, "привести подобные". То есть сложить $n$ единичек, $n-1$ двоек и т.п.

$$n\cdot 1+(n-1)\cdot 2+(n-2)\cdot 3+...+(n-(n-1))\cdot n = n(1+2+...+n)-(1\cdot 2+2\cdot 3+...+(n-1)n)$$

Последняя сумма считается стандартным способом через разности соседних кубов.
Впрочем, этот способ нисколько не лучше других, если не разъяснить недоумение выше.

[pro_noob]

Нашёл формулу:
$S_{n-1} = \frac{n^3 - n}6$

[arseniiv]

pro_noob
Если интересно находить значения многих подобных хитрых сумм, можете открыть первые пару глав книги Кнута, Грэма и Паташника «Конкретная математика». Для подобных сумм «$n$-кратной арифметической прогрессии», например, работает метод неопределённых коэффициентов: взять многочлен $(n+1)$-й степени от количества членов и найти его коэффициенты, рассмотрев несколько первых значений. (И обоснование этого нехитрое.)

[Munin]

pro_noob в сообщении #1416586 писал(а):

Нашёл формулу:
$S_{n-1} = \frac{n^3 - n}6$

На полу за диваном нашли?

[=SSN=]

Munin в сообщении #1416614 писал(а):

На полу за диваном нашли?

Может, он в ванной её нашел.. :)