Вычислить объем тела и длину дуги

[artey]

Здравствуйте, нужна помощь в решении следующих задач.
1) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями ($\[a > 0\]$) $\[\left\{ \begin{gathered} 2az = {x^2} + {y^2} \hfill \\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 3{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$ . Первое уравнение - это параболоид, а второе - сфера. Построил график в Maple .Трудности возникают с составлением интеграла для вычисления объема и определением пределов интегрирования. Начал решать так: подставил первое уравнение во второе $\[2az + {z^2} = 3{a^2}\]$ и пока что все.
2) Вычислить длину дуги кривой $\[4{y^2} = {(x - 1)^5}\]$, расположенной внутри кривой $\[{y^2} = x\]$. Есть формула длины дуги $\[L = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{(f'(x))}^2}} dx} \]$. Ее надо использовать при решении данной задачи?Если да, то какие нужно действия проделать с данными уравнениями чтобы перейти к ней? Заранее спасибо.

[Pphantom]

artey в сообщении #1415256 писал(а):

Трудности возникают с составлением интеграла для вычисления объема и определением пределов интегрирования.

Попробуйте для начала перейти к цилиндрической системе координат, это существенно упростит дело.

artey в сообщении #1415256 писал(а):

Ее надо использовать при решении данной задачи?Если да, то какие нужно действия проделать с данными уравнениями чтобы перейти к ней?

Что значит "находится внутри"? Подумайте над этим, картинки нарисуйте (раз уж все равно это делаете).

[thething]

artey в сообщении #1415256 писал(а):

Трудности возникают с составлением интеграла для вычисления объема и определением пределов интегрирования.

В прямоугольных координатах трудностей быть не должно: фигура явно находится между двумя поверхностями, т.е. от чего до чего меняется $z$ -- понятно. Проекция фигуры на плоскость $xOy$ ограничена кривой, полученной исключением переменной $z$ из системы. На первый взгляд получится страшное уравнение границы, но переход к полярным координатам всё исправит.

Во втором случае, действительно, нарисуйте кривую.

[ewert]

artey в сообщении #1415256 писал(а):

подставил первое уравнение во второе $\[2az + {z^2} = 3{a^2}\]$ и пока что все

Вам нужно расставить пределы по $x,y$ (лучше в полярных координатах, но пока это не важно). Это значит, что нужно найти проекцию линии пересечения на горизонтальную плоскость. Это, в свою, очередь, означает, что нужно исключить переменную $z$ из системы уравнений, задающих поверхности. Вот и исключайте.

artey в сообщении #1415256 писал(а):

какие нужно действия проделать с данными уравнениями чтобы перейти к ней?

Прежде всего, найти пределы интегрирования, т.е. найти точки пересечения двух линий. Правда, ничего из этого не выйдет, но это уже другой вопрос.

[redicka]

Если не требуется вычислить объем через тройной интеграл, то можно использовать однократное интегрирование т.к. тело представляет собой тело вращения, состоящее из части шара и параболоида.

[artey]

C первой задачей разобрался, всем спасибо . Ответ: $\[\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^{a\sqrt 2 } {(\sqrt {3{a^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{2a}}} } )rdr\]$. По поводу второй задачи: построил графики.
Я так понимаю, что надо найти длину дуги зеленого графика до точки пересечения с красным. Так? Если да, то с чего начать решение? Думаю, что надо уравнение $\[{y^2} = x\]$ подставить в первое. Получится $\[4x = {(x - 1)^5}\]$. Найду корни, среди которых точка пересечения графиков. Дальше затрудняюсь.

[Pphantom]

artey в сообщении #1415460 писал(а):

C первой задачей разобрался. Ответ: $\[\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^{a\sqrt 2 } {(\sqrt {3{a^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{2a}}} } )rdr\]$.

Вы уверены, что это ответ?

artey в сообщении #1415460 писал(а):

Я так понимаю, что надо найти длину дуги зеленого графика до точки пересечения с красным. Так?

Лишним это не будет, и формула для этого у вас уже есть. Но все же полезно задаться и другими вопросами. Что будет, если $y<0$?

[artey]

Pphantom в сообщении #1415462 писал(а):

Вы уверены, что это ответ?

А разве нет? Поясните пожалуйста.

Pphantom в сообщении #1415462 писал(а):

Лишним это не будет, и формула для этого у вас уже есть. Но все же полезно задаться и другими вопросами. Что будет, если $y<0$?

Вот что

[thething]

artey в сообщении #1415463 писал(а):

А разве нет?

Вы шутите? Интегралы-то считать надо.
По второй задаче: формула у Вас есть, от чего до чего меняется икс -- найти несложно. Кривая симметрична, значит достаточно посчитать только длину верхней половины и умножить на два. Какие проблемы?

[Pphantom]

Ну вот, thething успел раньше. Я с ним полностью согласен.

[artey]

thething в сообщении #1415466 писал(а):

Вы шутите? Интегралы-то считать надо.

Да, конечно посчитал.

thething в сообщении #1415466 писал(а):

По второй задаче: формула у Вас есть, от чего до чего меняется икс -- найти несложно. Кривая симметрична, значит достаточно посчитать только длину верхней половины и умножить на два. Какие проблемы?

Из уравнения $\[\sqrt {\frac{{{{(x - 1)}^5}}}{4}} = 0\] $ нижний предел интегрирования $\[a = 1\]$. Уравнение $\[{(x - 1)^5} = 4x\]$ имеет 5 корней, 4 из которых комплексные и один вещественный $\[ \approx 2,6\]$. Он будет верхним пределом $b$. Тогда длина дуги $\[L = 2\int\limits_1^{2,6} {\sqrt {1 + {{\left( {\sqrt {\frac{{{{(x - 1)}^5}}}{4}} } \right)}^\prime }} dx} \]$. Правильно?

[thething]

artey в сообщении #1415509 писал(а):

Правильно?

Квадрат потеряли.

Я не думаю, что стОит писать приближённые пределы интегрирования. Может быть, сперва обозначить его $x_0$, помня, что он удовлетворяет тому уравнению, а после интегрирования он куда-то подставится. В крайнем случае, ответ дать через $x_0$, указав, что это действительный корень уравнения и что он существует.