2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 16:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
При каких $x \in \mathbb{R}$ оба числа $4x^5-7$ и $4x^{13}-7$ являются точными квадратами?

P.S. Хотелось бы увидеть не слишком громоздкое решение этой задачи. На всякий случай: точный квадрат --- это квадрат целого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 17:09 


16/08/05
1146
Численно нашлось пока только $x=2$

(gp-код)

Код:
for(x=2, 10^6,
  b= 4*x;
  for(y=2, 1000,
   if(gcd(b, y)==1,
    m= Mod(b, y^2);
    h= znorder(m);
    z= znlog(7*4^4, m, h);
    if(z==5, if(issquare(4*x^13-7), print("x = "x)))
   )
  )
)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 17:50 


05/09/16
11469
dmd в сообщении #1415083 писал(а):
Численно нашлось пока только $x=2$

Так вы, кажись, целые иксы проверяли, а предлагают проверять вещественные

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 18:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Думаю, значением $x=2$ все и ограничится. Найти его можно было и в уме, вспомнив про уравнение Рамануджана-Нагеля $2^n-7=m^2$.
wrest в сообщении #1415090 писал(а):
Так вы, кажись, целые иксы проверяли, а предлагают проверять вещественные
Ну, это такая олимпиадная финтифлюшка: по факту такие вещественные $x$ должны быть целыми (легко доказать). Собственно, вот задача для настоящих джентльменов: решить малой кровью уравнение $$\left(\frac{a^2+7}{4}\right)^{13}=\left(\frac{b^2+7}{4}\right)^5$$ в натуральных числах. Стандартный метод здесь работает, но уж больно громоздкие вычисления, я не осилил. Может, есть какой-то трюк?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 18:38 


20/04/10
1776
Случалось разбирать похожее задание (быть может с учеником, готовящимся к егэ). Идея заключается в выделении полного квадрата плюс ещё что-то маленькое по абсолютной величине. Если $x$ удовлетворяет требованиям условия, тогда $4(4x^{13}-7)(4x^5-7)=\square$. Раскрываем скобки и выделяем полный квадрат, получаем $(8 x^9 - 7 x^4)^2 - 49 x^8 - 112 x^5 + 196=\square$. Далее уже технические детали, заключающиеся в решении неравенств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
nnosipov в сообщении #1415096 писал(а):
$$\left(\frac{a^2+7}{4}\right)^{13}=\left(\frac{b^2+7}{4}\right)^5$$

Дык, вроде бы та же задача: $a=11,b=181.$ Если только другие решения имеются.

(Оффтоп)

Но Вольфрам говорит других нет. Джентльмены прикуп не проверяют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 19:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
lel0lel в сообщении #1415100 писал(а):
тогда $4(4x^{13}-7)(4x^5-7)=\square$.
Мне в таких случаях почему-то хочется поделить. А то, что с тем же эффектом можно перемножить, как ни странно, доходит с трудом :facepalm: Спасибо.
Andrey A в сообщении #1415108 писал(а):
Дык, вроде бы та же задача:
Та же, естественно. Но в таком варианте технически гораздо сложнее.

Раз уж завел этот разговор: давайте заодно решим уравнение $x^6+5x^5+1=y^4-4y^3-y$ в натуральных числах. Будет ли здесь интереснее? Или школьникам и эти штуки уже давно показывают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 21:10 


16/08/05
1146
nnosipov в сообщении #1415111 писал(а):
уравнение $x^6+5x^5+1=y^4-4y^3-y$ в натуральных числах

по модулю $2$ решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение14.09.2019, 22:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Прощу прощения, там опечатки. Имелось в виду уравнение $x^6+2x^5+1=y^4-2y^3-y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение15.09.2019, 12:00 


16/08/05
1146
nnosipov в сообщении #1415151 писал(а):
$x^6+2x^5+1=y^4-2y^3-y$

$x$ нечетный и $y$ квадратичный вычет по модулю $2$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение15.09.2019, 13:20 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
dmd в сообщении #1415248 писал(а):
$y$ квадратичный вычет по модулю $2$...
Что имеется в виду? Квадратичные вычеты обычно рассматривают по нечетному (в частности, простому) модулю. Вообще, уравнение $x^6+2x^5+1=y^4-2y^3-y$ разрешимо в целых числах, так что совсем простые соображения здесь не помогут. При желании левую и правую часть можно изменить, но общий метод решения подобных уравнений по-прежнему будет работать. Мне просто интересно, насколько этот общий метод известен, популярен и т.д. Скажем, описанная выше идея "зажать между двумя квадратами" действительно весьма известна и очень стара (100 лет как минимум). Здесь речь идет о естественном развитии этой идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение15.09.2019, 13:58 


16/08/05
1146
Если переборный алгоритм будет актуален и символ Кронекера $\left(\frac{y}{2}\right)=-1$, то такие $y$ не подходящи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение15.09.2019, 14:04 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Как способ сократить перебор, это понятно. Но в общем случае задача существенного сокращения перебора (скажем, на порядок) кажется очень сложной.

Тем не менее, приведу один оптимистический пример. Рассмотрим уравнение $$z^2=y^4+8Hy^3-12y^2+4,\eqno(*)$$ где $H$ --- целочисленный параметр. Это уравнение имеет "максимальное по порядку" решение $(y,z)$, для которого $y=4H^3-2H$. Стандартный алгоритм решения (наша старая идея "зажать между двумя квадратами") приводит к перебору $\asymp H^3$ значений $y$, для каждого из которых нужно вычислить правую часть уравнения и затем выяснить, будет ли она точным квадратом. Казалось бы, наличие "большого" решения подталкивает думать, что существенно меньшим числом тестов на "быть точным квадратом" и не обойтись. Но это не так: оказывается, есть способ решить уравнение $(*)$, проделав всего $\asymp H^2$ таких тестов, т.е. на порядок меньше. Разницу можно хорошо почувствовать уже при $H=100$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение15.09.2019, 14:54 


16/08/05
1146
Можно так переписать $(2 x^2)^2 - (2 x^2 (x + 1))^2 + (2 y (y - 1))^2 - (2 y + 1)^2=3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два точных квадрата
Сообщение15.09.2019, 15:04 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
dmd в сообщении #1415277 писал(а):
Можно так переписать $(2 x^2)^2 - (2 x^2 (x + 1))^2 + (2 y (y - 1))^2 - (2 y + 1)^2=3$
Красиво, но это точно случайность (я коэффициенты уравнения практически наобум написал). Да и непонятно, что с этим делать дальше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group