Поиск аппроксимирующей функции

[realeugene]

Adventor в сообщении #1411663 писал(а):

Если вариантов нет, то придется интерполировать.

Так аппроксимация с последующим получением промежуточных точек - это и есть интерполяция. Вариантов аппроксимации как раз больше, чем вам хочется. Разложение по какой-нибудь системе ортогональных функций может быть хорошим вариантом для вас. Отразите симметрично (чтобы не было разрывов) и разложите в ряд Фурье, например, оставив только начальные члены ряда с косинусами. Или попробуйте полиномы Лежандра. В любом случае, вам потребуется какой-нибудь критерий качества аппроксимации, например, сумма квадратов отклонений точек, возможно, взвешенная, чтобы лучше разрешить центральную область и не рассматривать поведение в окрестности нуля.

[Adventor]

arseniiv в сообщении #1411673 писал(а):

Ну тогда теми же сплайнами. Если брать мало кусков и малые степени, будет мало параметров.

Хорошо, возьму это за точку отсчета.

[Pavia]

Либо кусочным полиномом (сплайном).
Либо взвешенным сплайном(NURBS) c фиксированным числом точек.
Либо обратным взвешенным расстоянием(IDW).

Так как 2 и 3 функции не линейные, то стоит использовать нелинейную минимизацию что-бы найти коэффициенты.

[Александрович]

Adventor в сообщении #1411621 писал(а):

нужно подобрать общий вид аппроксимирующей функции для всех наборов

Эту функцию можно считать центрально-симметричной исходя из физики?

[Pphantom]

Adventor в сообщении #1411668 писал(а):

Подзадача описать распределение яркости по радиусу примерно такая же как вся эта задача.

Это верно, но пытаться подбирать аппроксимацию без учета того, как выглядит модель потемнения, более-менее бессмысленно.

[Adventor]

Александрович в сообщении #1411696 писал(а):

Эту функцию можно считать центрально-симметричной исходя из физики?

Я не совсем понимаю что имелось в виду под "центрально-симметричной", но наверно да

[Александрович]

Adventor в сообщении #1411713 писал(а):

что имелось в виду под "центрально-симметричной"

Если вашу кривую повернуть на 180 градусов относительно точки $(1000; 0,5)$ она совпадёт с исходной.

[Pphantom]

Александрович в сообщении #1411729 писал(а):

Если вашу кривую повернуть на 180 градусов относительно точки $(1000; 0,5)$ она совпадёт с исходной.

Нет, это неверно.

[mserg]

Ув. физик!

Наборы данных то выложите. У меня есть программа, которая подбирает функции, - может найдет простую общую подходящую формулу. Также желательно указать критерий точности аппроксимации.

[Pavia]

mserg
В первом посте, после картинке, в офтотопике, лежит ссылка на гугл-диск с данными.

[mserg]

Да, точно.

Подобрать хорошую функцию не удалось. Также не удалось подобрать хорошее дифференциальное уравнение.
Однако, система подбора дифференциального уравнения вертится вокруг уравнения логистической функции.

Сделав обобщение, получаем дифференциальное уравнение:
$y'=-k(y-l)^a(h-y)^b$
Коэффициент $k$ задает резкость спада, $l$ и $h$ - минимум и максимум функции соответственно, параметры $a$ и $b$ дают асимметрию. Как я понимаю, $a$ и $b$ должны быть не меньше 1. Видимо $a \approx 1$, а $b \approx 1.5$.

Если задать параметры, решить уравнение, и посмотреть на внешний вид функции, то визуальное сходство с исходными данными есть.
Осталось подобрать по 5 параметров для каждой линии и узнать точность...

[Adventor]

Всем спасибо за ответы!

Как я понял, подобные задачи -- аппроксимация эмпирических данных в виде гладкой кривой -- решаются (когда не нужен физический закон) именно интерполяцией или аппроксимацией сплайнами, по крайней мере это частный способ.

Я использовал b-spline. Он использует только часть точек из набора данных.
Получилось не совсем гладко -- сплайн описывает погрешности в данных. Но это уже нюансы. Выбором типа сплайна и метода аппроксимации думаю можно добиться лучших результатов.

И насчет симметричности -- полная версия кривой такая:

[mserg]

Ниже приведена аппроксимация диффурами:

(Оффтоп)

Немного задирает около нуля, но может быть исправлено с помощью дополнения критерия.

[Emergency]

Пример аппроксимации кривой Безье из трех точек с ручной подгонкой.
Средняя точка должна лежать в точке перегиба. На глаз это сделать сложно.
Наверняка это не лучший результат, но автоматизировать подгонку я не умею. :(