2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение19.08.2019, 22:00 


05/09/16
11469
nnosipov в сообщении #1411161 писал(а):
Давайте такие значения $l$ называть тривиальными. Таким образом, тривиальные значения $l$ --- это $3,8,15,24,35$ и т.д.

Еще из численных результатов видно что много вот таких решений $ly=x+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение19.08.2019, 22:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
wrest в сообщении #1411191 писал(а):
много вот таких решений $ly=x+1$
Тут такая штука: если бы удалось доказать, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $x^2-(l^2+l)y^2=-l^2+1$ имеет место сравнение $$x \equiv \pm 1 \pmod{l},\eqno(*)$$ то тогда гипотезу можно было бы легко доказать. Таким образом, в гипотетическом контрпримере сравнение $(*)$ должно нарушаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение19.08.2019, 22:31 


05/09/16
11469
nnosipov в сообщении #1411192 писал(а):
Таким образом, в гипотетическом контрпримере сравнение $(*)$ должно нарушаться.

Так ведь таких решений полно...
Например $l=120, y=3, x=341$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение19.08.2019, 22:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
wrest в сообщении #1411194 писал(а):
Например $l=120, y=3, x=341$
Действительно. Не знаю, что с этим делать. Я надеялся, что таких "малых" контрпримеров будет немного.

-- Вт авг 20, 2019 02:41:38 --

nnosipov в сообщении #1411192 писал(а):
если бы удалось доказать, что для любого решения $(x,y)$ уравнения $x^2-(l^2+l)y^2=-l^2+1$ имеет место сравнение $$x \equiv \pm 1 \pmod{l},\eqno(*)$$
Теперь мы знаем, что это доказать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение19.08.2019, 23:29 


05/09/16
11469
nnosipov в сообщении #1411195 писал(а):
Я надеялся, что таких "малых" контрпримеров будет немного.

Они всегда (в наблюденных рамках $l<10^6$) идут по трое. Одно решение типа $ly=x+1$ и ещё два (для того же $l$) где $ly \ne x+1$
Например:
$l=94248, y=4, x=365023$
$l=94248, y=39, x=3674483$
$l=94248, y=306, x=28839887,ly=x+1$
Кстати, вот решений где $ly=x-1$ не попадалось вовсе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 09:56 


05/09/16
11469
wrest в сообщении #1411179 писал(а):
Так что перезапустил, до $10^7$

Решений где $l\ne t^2-1$ не нашлось до $l=10^7$
Время счета составило 3 часа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 10:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
wrest в сообщении #1411242 писал(а):
Решений где $l\ne t^2-1$ не нашлось до $l=10^7$
Время счета составило 3 часа.
Удовольствуемся пока этим. Еще раз спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 12:48 


16/08/05
1146
Andrey A в сообщении #1410698 писал(а):
$\left\{\begin{matrix} l(y^2-1)+1
 & =dp^2\\ 
l+1 & =dq^2
\end{matrix}\right.$ Отсюда $d=\dfrac{2-y^2}{p^2-(y^2-1)q^2},\ l=\dfrac{q^2-p^2}{p^2-(y^2-1)q^2}.$

Примем $y$ за аргумент: $p^2-(y^2-1)q^2=\dfrac{2-y^2}{d}\ \ \ (2)$

Интересные соотношения получаются.

$y^2 - 2 = d (q^2 (y^2 - 2)-(p^2 - q^2))$

и

$(y^2 - 2) (d q^2 - 1) = d (p^2 - q^2)$

Видим, что $d\mid y^2 - 2$, т.е. двойка есть квадратичный вычет по модулю $d$.

Тогда любой простой делитель $d$, назовём его $p_d$, должен иметь символ Лежандра равный единице $\left(\frac{2}{p_d}\right)=1$, и соответственно символ Кронекера $\left(\frac{2}{d}\right)\neq-1$.

Следующий небольшой тест это подтверждает.
Код:
testd()=
{
for(l=2, 100,
  if(!issquare(l+1),
   for(y=2, sqrtint(l),
    d= gcd(l+1, y^2-2);
    if(d>1, if(issquarefree(d),
     print("l = "l"    d = "d"    "factorint(d))
    ))
   )
  )
)
};

(вывод теста)

? \r testd.gp
? testd()
l = 5 d = 2 Mat([2, 1])
l = 7 d = 2 Mat([2, 1])
l = 9 d = 2 Mat([2, 1])
l = 11 d = 2 Mat([2, 1])
l = 13 d = 2 Mat([2, 1])
l = 13 d = 7 Mat([7, 1])
l = 17 d = 2 Mat([2, 1])
l = 17 d = 2 Mat([2, 1])
l = 19 d = 2 Mat([2, 1])
l = 19 d = 2 Mat([2, 1])
l = 20 d = 7 Mat([7, 1])
l = 20 d = 7 Mat([7, 1])
l = 21 d = 2 Mat([2, 1])
l = 21 d = 2 Mat([2, 1])
l = 23 d = 2 Mat([2, 1])
l = 23 d = 2 Mat([2, 1])
l = 25 d = 2 Mat([2, 1])
l = 25 d = 2 Mat([2, 1])
l = 27 d = 2 Mat([2, 1])
l = 27 d = 7 Mat([7, 1])
l = 27 d = 14 [2, 1; 7, 1]
l = 29 d = 2 Mat([2, 1])
l = 29 d = 2 Mat([2, 1])
l = 31 d = 2 Mat([2, 1])
l = 31 d = 2 Mat([2, 1])
l = 33 d = 2 Mat([2, 1])
l = 33 d = 2 Mat([2, 1])
l = 34 d = 7 Mat([7, 1])
l = 34 d = 7 Mat([7, 1])
l = 37 d = 2 Mat([2, 1])
l = 37 d = 2 Mat([2, 1])
l = 37 d = 2 Mat([2, 1])
l = 39 d = 2 Mat([2, 1])
l = 39 d = 2 Mat([2, 1])
l = 39 d = 2 Mat([2, 1])
l = 41 d = 2 Mat([2, 1])
l = 41 d = 7 Mat([7, 1])
l = 41 d = 14 [2, 1; 7, 1]
l = 41 d = 2 Mat([2, 1])
l = 43 d = 2 Mat([2, 1])
l = 43 d = 2 Mat([2, 1])
l = 43 d = 2 Mat([2, 1])
l = 45 d = 2 Mat([2, 1])
l = 45 d = 2 Mat([2, 1])
l = 45 d = 23 Mat([23, 1])
l = 45 d = 2 Mat([2, 1])
l = 47 d = 2 Mat([2, 1])
l = 47 d = 2 Mat([2, 1])
l = 47 d = 2 Mat([2, 1])
l = 49 d = 2 Mat([2, 1])
l = 49 d = 2 Mat([2, 1])
l = 49 d = 2 Mat([2, 1])
l = 50 d = 17 Mat([17, 1])
l = 51 d = 2 Mat([2, 1])
l = 51 d = 2 Mat([2, 1])
l = 51 d = 2 Mat([2, 1])
l = 53 d = 2 Mat([2, 1])
l = 53 d = 2 Mat([2, 1])
l = 53 d = 2 Mat([2, 1])
l = 55 d = 2 Mat([2, 1])
l = 55 d = 7 Mat([7, 1])
l = 55 d = 14 [2, 1; 7, 1]
l = 55 d = 2 Mat([2, 1])
l = 57 d = 2 Mat([2, 1])
l = 57 d = 2 Mat([2, 1])
l = 57 d = 2 Mat([2, 1])
l = 59 d = 2 Mat([2, 1])
l = 59 d = 2 Mat([2, 1])
l = 59 d = 2 Mat([2, 1])
l = 61 d = 2 Mat([2, 1])
l = 61 d = 2 Mat([2, 1])
l = 61 d = 2 Mat([2, 1])
l = 62 d = 7 Mat([7, 1])
l = 62 d = 7 Mat([7, 1])
l = 65 d = 2 Mat([2, 1])
l = 65 d = 2 Mat([2, 1])
l = 65 d = 2 Mat([2, 1])
l = 65 d = 2 Mat([2, 1])
l = 67 d = 2 Mat([2, 1])
l = 67 d = 2 Mat([2, 1])
l = 67 d = 34 [2, 1; 17, 1]
l = 67 d = 2 Mat([2, 1])
l = 68 d = 23 Mat([23, 1])
l = 69 d = 2 Mat([2, 1])
l = 69 d = 7 Mat([7, 1])
l = 69 d = 14 [2, 1; 7, 1]
l = 69 d = 2 Mat([2, 1])
l = 69 d = 2 Mat([2, 1])
l = 71 d = 2 Mat([2, 1])
l = 71 d = 2 Mat([2, 1])
l = 71 d = 2 Mat([2, 1])
l = 71 d = 2 Mat([2, 1])
l = 73 d = 2 Mat([2, 1])
l = 73 d = 2 Mat([2, 1])
l = 73 d = 2 Mat([2, 1])
l = 73 d = 2 Mat([2, 1])
l = 75 d = 2 Mat([2, 1])
l = 75 d = 2 Mat([2, 1])
l = 75 d = 2 Mat([2, 1])
l = 75 d = 2 Mat([2, 1])
l = 76 d = 7 Mat([7, 1])
l = 76 d = 7 Mat([7, 1])
l = 77 d = 2 Mat([2, 1])
l = 77 d = 2 Mat([2, 1])
l = 77 d = 2 Mat([2, 1])
l = 77 d = 2 Mat([2, 1])
l = 79 d = 2 Mat([2, 1])
l = 79 d = 2 Mat([2, 1])
l = 79 d = 2 Mat([2, 1])
l = 79 d = 2 Mat([2, 1])
l = 81 d = 2 Mat([2, 1])
l = 81 d = 2 Mat([2, 1])
l = 81 d = 2 Mat([2, 1])
l = 81 d = 2 Mat([2, 1])
l = 83 d = 2 Mat([2, 1])
l = 83 d = 7 Mat([7, 1])
l = 83 d = 14 [2, 1; 7, 1]
l = 83 d = 2 Mat([2, 1])
l = 83 d = 2 Mat([2, 1])
l = 84 d = 17 Mat([17, 1])
l = 85 d = 2 Mat([2, 1])
l = 85 d = 2 Mat([2, 1])
l = 85 d = 2 Mat([2, 1])
l = 85 d = 2 Mat([2, 1])
l = 87 d = 2 Mat([2, 1])
l = 87 d = 2 Mat([2, 1])
l = 87 d = 2 Mat([2, 1])
l = 87 d = 2 Mat([2, 1])
l = 89 d = 2 Mat([2, 1])
l = 89 d = 2 Mat([2, 1])
l = 89 d = 2 Mat([2, 1])
l = 89 d = 2 Mat([2, 1])
l = 90 d = 7 Mat([7, 1])
l = 90 d = 7 Mat([7, 1])
l = 91 d = 2 Mat([2, 1])
l = 91 d = 2 Mat([2, 1])
l = 91 d = 23 Mat([23, 1])
l = 91 d = 2 Mat([2, 1])
l = 91 d = 2 Mat([2, 1])
l = 92 d = 31 Mat([31, 1])
l = 93 d = 2 Mat([2, 1])
l = 93 d = 2 Mat([2, 1])
l = 93 d = 2 Mat([2, 1])
l = 93 d = 47 Mat([47, 1])
l = 93 d = 2 Mat([2, 1])
l = 95 d = 2 Mat([2, 1])
l = 95 d = 2 Mat([2, 1])
l = 95 d = 2 Mat([2, 1])
l = 95 d = 2 Mat([2, 1])
l = 97 d = 2 Mat([2, 1])
l = 97 d = 7 Mat([7, 1])
l = 97 d = 14 [2, 1; 7, 1]
l = 97 d = 2 Mat([2, 1])
l = 97 d = 2 Mat([2, 1])


Видно, что, кроме двойки, в кандидатах $d$ простыми делителями являются только 7,17,23,31,47, у которых символ Лежандра равен единице.

Возможно ли это как-то использовать в поиске контрпримера? И что можно сказать о чётности $d$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 17:59 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Вот что придумалось.

Рассмотрим уравнение (2), которое написал Andrey A. Похоже, с ним и надо работать, оно наиболее удобно. Можно считать, что $d$ свободно от квадратов и что простые делители $d$ --- это $2$ и простые числа вида $8k \pm 1$. Так вот, интерес могут представлять только "маленькие" значения $d$. Точная формулировка такова. Пусть $y \geqslant 25$. Если $d>\frac{y^2-2}{12y} \approx y/12$, то уравнение (2) заведомо неразрешимо. Это утверждение не очевидно, но его можно доказать.

Таким образом, в поисках контрпримера мы можем перебирать только пары $(y,d)$ с условием $y \geqslant 25$, $d \leqslant \frac{y^2-2}{12y}$, $d$ свободно от квадратов и имеет простые делители указанного выше вида. Для каждой такой пары нужно предварительно вычислить символ Якоби $(d/y^2-1)$ и, если он равен единице, решать уравнение (2). (В случае нечетного $y$ нужно из знаменателя символа Якоби изъять двойки или просто ограничиться четными значениями $y$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 22:37 


20/04/10
1776
wrest в сообщении #1411204 писал(а):
Кстати, вот решений где $ly=x-1$ не попадалось вовсе.

При условии что $y<\sqrt{l}$ так и должно быть.
Распишу подробнее.
Пусть $l\geq 2$. Если справедливо $x\equiv \pm1\pmod{l}$, тогда $x=k l\pm1$. Подставим в исходное уравнение $x=k l+1$ $(k\in \mathbb{Z})$. Заметим следующее: если $k<0$, то исследуется вопрос о существовании решений для которых $x>0$ и $x\equiv -1\pmod{l}$; если $k\geq 0$, то исследуется вопрос о существовании решений для котороых $x>0$ и $x\equiv 1\pmod{l}$. После раскрытия скобок:
$$k^2 l-y^2 l+l+2k-y^2=0.$$
Из полученного видно что $y^2=s l+2 k$, подставляем этот результат в уравнение и после преобразований получаем $l=(k-1)^2/s-1$ (здесь $s\ne 0$, иначе целочисленных решений нет, в этом легко убедиться). Из последнего равенства имеем $sl=(k-1)^2-s$; используя это в $y^2=s l+2 k$, получаем $y^2=k^2+1-s$. Итак, мы свели вопрос нахождения решений для которых $x\equiv \pm1\pmod{l}$ к вопросу нахождения целочисленных решений следующей системы:
$$l=\frac{(k-1)^2}{s}-1\,\,\, \text{  и  }\,\,\, y^2=k^2+1-s.$$
В таком виде эту систему удобно исследовать. Поскольку мы рассматриваем случай $l\geq 2$, то из первого уравнения следует что $s>0$. Теперь используем лемму nnosipov, чтобы найти допустимые значения $s$. Если уравнение имеет целочисленные решения, то найдётся такое, для которого $y^2<l$. Тогда, используя полученную систему, имеем неравенство в целых числах
$$k^2+1-s<\frac{(k-1)^2}{s}-1,\,\,\text{ целое число } \frac{(k-1)^2}{s}-1\geq 2.$$
Получаем ответ $s=1, k<0$; ход решения, отбрасывая детали, описывается слоганом: "делить -- это Вам не вычитать!" Заметим, что случай $k<0$ соответствует $x>0$ и $x\equiv -1\pmod{l}$, это и наблюдается в экспериментах, проводимых с ограничивающим условием $y<\sqrt{l}$.

Подводя итог:
1) Если $l\geq 3$ такое, что из сравнения $x^2\equiv 1\pmod{l}$ (которое верно по условию) с необходимостью следует $x\equiv \pm1\pmod{l}$, тогда исходное уравнение имеет решение только если $l=t^2-1$. Из чего следует, что $l$ не может быть простым числом большим трёх, а также не может быть степенью простого большего двух.
2) Если $l=t^2-1$, тогда в положительной области есть следующие решения $((t+1)(t^2-1)+1,t+1), ((t-1)(t^2-1)-1,t-1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 23:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
lel0lel в сообщении #1411316 писал(а):
а также не может быть степенью простого большего двух
Кстати, да. Таким образом, исходная задача решена и даже с запасом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 23:30 


05/09/16
11469
lel0lel в сообщении #1411316 писал(а):
1) Если $l\geq 3$ такое, что из сравнения $x^2\equiv 1\pmod{l}$ (которое верно по условию) с необходимостью следует $x\equiv \pm1\pmod{l}$,

То есть, осталось показать что $l$ именно такое...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 23:38 


20/04/10
1776
Не совсем так. Таких $l$ мало, примером служат простые числа. Надо с другими $l$ теперь разбираться, про них ничего не утверждается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение20.08.2019, 23:40 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
wrest в сообщении #1411322 писал(а):
То есть, осталось показать что $l$ именно такое...
Это нельзя показать, вот Ваш же пример:
wrest в сообщении #1411194 писал(а):
Например $l=120, y=3, x=341$
Здесь $x^2 \equiv 1 \pmod{l}$, но оба сравнения $x \equiv \pm 1 \pmod{l}$ не имеют места.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение21.08.2019, 00:01 


05/09/16
11469
nnosipov в сообщении #1411325 писал(а):
Это нельзя показать, вот Ваш же пример:

А, ну да...
Остается недоказанным, что всегда $l=t^2-1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group