Неравенство из "Problems from the book"

[Alexander Evnin]

В книге "Problems from the book" в разделе "Solving elementary inequalities using integrals" есть и такая задача.
Доказать, что при положительном $x$ и натуральном $n$
$\displaystyle\frac{C_{2n}^0}{x}-\frac{C_{2n}^1}{x+1}+\frac{C_{2n}^2}{x+2}-\dots+\frac{C_{2n}^{2n}}{x+2n}>0$.

[Markiyan Hirnyk]

Сумма в левой части неравенства равна ${\frac {1}{x{2\,n+x\choose 2\,n}}}.$

[Alexander Evnin]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1408612 писал(а):

Сумма в левой части неравенства равна ${\frac {1}{x{2\,n+x\choose 2\,n}}}.$

А как это доказать?

[nnosipov]

Alexander Evnin в сообщении #1408630 писал(а):

А как это доказать?

Зная ответ, можно попробовать разложить дробь в сумму простейших дробей.

[mihiv]

Вычислить интеграл от положительной функции: $\int \limits _0^1y^{x-1}(1-y)^{2n}dy$

[Alexander Evnin]

mihiv в сообщении #1408655 писал(а):

Вычислить интеграл от положительной функции: $\int \limits _0^1y^{x-1}(1-y)^{2n}dy$

Видимо, такое решение и подразумевалось авторами книги!

[nnosipov]

И вместо $2n$ всюду можно писать $n$.

[Alexander Evnin]

nnosipov в сообщении #1408679 писал(а):

И вместо $2n$ всюду можно писать $n$.

Да, вроде бы чётность нижнего индекса никакой роли не играет.