найти функцию

[classman]

Дана функция $f: R \rightarrow R$. Такая что для любого $x \in R$

$$3f(x+2) + f(x)=3f(x+1), f(3)=3^{1000}$$

Найти $f(2013)$

-- 26.07.2019, 20:46 --

понятно, что можно составить систему для $x = 1, 2, 3$. В которой будет три уравнения и четыре неизвестных., но откуда взять еще одно условие? не могу догадаться

[provincialka]

Вообще-то для таких уравнений (однородных линейных рекуррентных второго порядка) есть общая теория. Можно погуглить. Но в конкретном случае можно и кустарно попробовать.

Правда, для уравнений второго порядка нужны два начальных условия, это так. Но от нас ведь не требуют, чтобы мы общий вид функции нашли!

[alcoholist]

classman в сообщении #1407229 писал(а):

понятно, что можно составить

нет, это стандартное линейное однородное разностное уравнение

[alcoholist]

однако в данном случае есть путь прямой, если заметить, что 2013 делится на 3

[novichok2018]

Теория конечно есть, например в прекрасной книге Маркушевича для школьников "Возвратные последовательности". Но из теории достаточно знать, что два решения можно искать в виде $q^x$, подставить, найти $q$, составить линейную комбинацию этих двух решений , что есть общее решение, такой план. Понятно, короткое решение даже без элементов теории красивее, это для сообразительных.

[slavav]

alcoholist в сообщении #1407325 писал(а):

однако в данном случае есть путь прямой, если заметить, что 2013 делится на 3

Прямая проверка показывает что тут важно что $(2013 - 3) \vdots 6$.

[alcoholist]

slavav в сообщении #1407380 писал(а):

Прямая проверка показывает что тут важно что $(2013 - 3) \vdots 6$.

начать лучше с деления на 3 и получить простое рекуррентное соотношение:) А уж потом...

[slavav]

Я не смог получить простую формулу для $f(x + 3)$. А для $f(x + 6)$ смог.
alcoholist, расскажите, пожалуйста, как надо действовать.

[alcoholist]

slavav
выразил $f(3k\pm 1)$ через $f(3k)$ и $f(3k\pm 3)$, подставил в стартовое соотношение при $x=3k-1$ и получил

$$f(3k+3)=-\frac{1}{27}f(3k-3).$$

Это не формула для $f(x+3)$, но получена-то рассмотрением аргументов, кратных 3. Я только это имел ввиду.

[slavav]

Спасибо, alcoholist!
Ваша формула обобщается до $f(x + 6) = -\frac{1}{27}f(x)$.

[alcoholist]

slavav в сообщении #1407777 писал(а):

формула обобщается

Наверное. Просто я сходу записывал $g_k=f(3k)$ и искал рекуррентное соотношение для $g$.